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Besitzt nun jede geschlossene Form ω (d.h. dω = 0 ) eine Stammform? Zumindest steht im Lemma von Poincaré eine Zusatzbedingung: das betrachtete Gebiet G muss sternförmig sein. Im wesentlichen bedeutet das, dass G keine Löcher enthalten darf.
Schauen wir uns ein Gegenbeispiel an, bei dem G nicht sternförmig ist:
In der Elektrodynamik kennt man das Magnetfeld B eines geraden
unendlich langen Leiters, den wir uns als unendlich dünnen Draht in z-Richtung vorstellen.
Das Magnetfeld umschließt diesen Leiter ringförmig, wobei die Feldlinien
senkrecht zur z-Achse stehen.
Die entsprechende Formel erhält man aus der statischen Maxwellgleichung
rot B = j/c
indem man eine kreisförmige Fläche D senkrecht zur z-Achse betrachtet
und den Integralsatz von Stokes in ebenen Polarkoordinaten
x = r cos θ
y = r sin θ
auswertet:
∫δ D á B, dx ñ = ∫D á j/c, dA ñ
Wir stellen uns nun vor, dass der Leiter unendlich dünn wird, also gleichsam
mit der z-Achse verschmilzt,
und betrachten das Magnetfeld außerhalb der z-Achse, d.h. die Kreisscheibe D soll einen
Radius ungleich Null haben.
Das Integral rechts ist dann gleich dem Gesamtstrom I durch den Leiter (Vorfaktoren ignorieren wir).
Setzt man rechts den Ansatz B = B eθ
ein mit eθ = (− sin θ, cos θ, 0) ,
so erhält man 2 π r |B| = I
oder nach |B| freigestellt
B = a / r eθ =
a / r2 (− y, x)
mit a = I/(2 π) und dem Abstand r von der z-Achse.
Da die gesamte Anordnung nicht von z Abhängt, genügt es, sich eine Ebene senkrecht zur z-Achse herauszusuchen, so wie dies die Kreisscheibe D im obigen Bild andeutet. Im Ursprung liegen dann (unendlich dicht zusammengedrängt) die Durchstoßpunkte der 2-Form j , die den Stromfluss repräsentiert, und gegen den Uhrzeigersinn verlaufen kreisförmig die Feldlinien von B .
Die entsprechende 1-Form lautet:
B = á B, dx ñ = a / r2 (− y dx + x dy)
Sie ist nur außerhalb des Ursprungs definiert, also in R2 \ {0} . Unser betrachtetes Gebiet hat also im Ursprung ein Loch! Überall in diesem Gebiet (ohne den Ursprungspunkt 0 ) gilt nun die Gleichung
dB = 0
d.h. B ist geschlossen. Das muss auch so sein, denn wir waren ja von der Gleichung rot B = j/c ausgegangen und hatten dann die Stromflussdichte auf einen unendlich dünnen Bereich um die z-Achse herum beschränkt, so dass überall außerhalb der z-Achse rot B = 0 erfüllt war.
Und jetzt sind wir zur entscheidenden Frage vorgestoßen: Hat die 1-Form B eine Stammform?
Wir suchen also eine 0-Form (eine Funktion) Φ, so dass dΦ = B
ist, oder anders ausgedrückt: grad Φ = B .
Vorsicht! Hier darf man sich nicht verwirren lassen.
Wir suchen hier keine Stammform zur 2-Form
á
B, dA
ñ .
Eine solche Stammform existiert nämlich wegen
d á
B, dA
ñ =
(div B) dV = 0 immer!
Man nennt sie oft A :=
á
A, dx
ñ
und bezeichnet A als Vektorpotential von B
(nicht mit dem Flächenelement dA verwechseln!).
Das ist hier also nicht gesucht.
Wir suchen eine Stammform zur 1-Form
B =
á
B, dx
ñ ,
die (zur Unterscheidung von der 2-Form) auch oft mit H bezeichnet wird.
Eine solche Stammform (Stammfunktion) der 1-Form B ist scheinbar nicht schwierig zu finden: sie lautet Φ(x,y) = b θ mit einer geeigneten Konstante b. Die Funktion verläuft also wie eine Wendeltreppe, die gegen den Uhrzeigersinn ansteigt. Ihr Anstieg verläuft daher kreisförmig entlang der Feldlinien von B. In drei Dimensionen haben wir das entsprechende Bild im letzten Kapitel bereits gesehen; wir stellen es hier erneut dar (siehe das Bild rechts):
Links: Die Punkte (grün) der Ladungs-3-Form ρ dV erzeugen die Linien (rot) der elektrischen Flussform á E, dA ñ , siehe vorheriges Kapitel.
Rechts:
Die Linien (rot) der Strom-2-Form
á
j/c, dA
ñ
erzeugen Flächen (blau) der magnetischen 1-Form
á
B, dx
ñ
, d.h. es ist
d
á
B, dx
ñ
=
á
rot B, dA
ñ
=
á
j/c, dA
ñ
, also
rot B = j/c
(wir gehen hier davon aus, dass kein sich zeitlich veränderndes
elektrisches Feld vorhanden ist).
Die blauen 2-Flächen, die die 1-Form B im rechten Bild darstellen, entsprechen den Flächen mit konstanten Φ, und die roten Entstehungskanten dieser Flächen entsprechen der 1-Flussform J. Da wir alle Entstehungskanten in der z-Achse zusammengeschoben haben, gilt außerhalb der z-Achse dB = 0 . In unserer zweidimensionalen x-y-Schnittfläche senkrecht zur z-Achse werden aus den Entstehungskanten die Durchtoßpunkte von J im Ursprung, und aus den Flächen von B werden die Schnittlinien dieser Flächen mit unserer zweidimensionalen x-y-Ebene. Diese Schnittlinien stellen in der x-y-Ebene die 1-Form B dar. Gleichzeitig sind die Schnittlinien die Äquipotentiallinien von Φ , also gleichsam die Treppenstufen der Wendeltreppe, wie das folgende Bild darstellt:
Es gibt allerdings ein Problem: Was geschieht nach einem Umlauf? Es entsteht ein Sprung in der Funktion, denn die Wendeltreppe befindet sich ja nun eine Etage höher! Und das bedeutet: es gibt eben keine in ganz R2 \ {0} definierte Stammform von B !
Die Ursache für das Fehlen einer Stammform ist das Loch im Ursprung. Hier konnten wir die Quelle für unser Magnetfeld verstecken! Halten wir also fest: Bei nicht-sternförmigen Gebieten (z.B. bei vorhandenen Löchern) gilt das Lemma von Poincaré nicht! Wählen wir dagegen ein Teilgebiet des R2, das den Ursprung nicht enthält, so gilt das Lemma von Poincaré wieder, denn dann ist Φ(x,y) = θ eine in diesem Teilgebiet wohldefinierte Funktion.
Das ist interessant: offenbar können uns Differentialformen etwas über die großräumige Struktur (die Topologie) einer Mannigfaltigkeit sagen! Schauen wir uns diesen Zusamenhang etwas genauer an:
Wir haben gerade gesehen, dass uns insbesondere geschlossenen p-Formen (also dω = 0 ) etwas über die Topologie der Mannigfaltigkeit verraten können. Die Eigenschaft, dass sie keine Stammform besitzen, zeigt die Existenz von Löchern in der Mannigfaltigkeit an. Die Menge der geschlossenen p-Formen der Mannigfaltigkeit M wollen wir im Folgenden mit Θp(M) bezeichnen (nicht mit dem Winkel θ von oben verwechseln!).
Die geschlossenen p-Formen können wir nun in verschiedene Untergruppen (Teilmengen) aufteilen. Die Idee dabei ist folgende:
Wir interessieren uns für Integrale
∫δG ω geschlossener p-Formen über den Rand δG eines Gebietes G
(das aber ein Loch enthalten darf; korrekter wäre es daher, statt vom Rand δG
besser von einer geschlossenen Kette (closed chain) zu sprechen;
wichtig ist dabei die Eigenschaft, dass diese Kette keinen Rand besitzt, d.h. δδG = {} ).
Wenn nun das Gebiet G kein Loch enthält, d.h. wenn G eine berandete
Mannigfaltigkeit im Sinne des Integralsatzes von Stokes ist, so gilt
nach diesem Integralsatz:
∫δG ω =
∫G dω = 0
Das bedeutet umgekehrt: Wenn
∫δG ω ≠ 0 ist
(und natürlich dω = 0 ), so kann δG nicht der Rand einer Mannigfaltigkeit
im Sinne des Integralsatzes von Stokes sein, d.h. G enthält beispielsweise ein Loch.
Nun gibt es aber geschlossene p-Formen, bei denen das obige Integral immer gleich Null ist:
die exakten p-Formen, also diejenigen Formen mit einer zugehörigen Stammform π, so dass
ω = dπ gilt. In diesem Fall ist nämlich
∫δG ω =
∫δG dπ =
∫δδG π = 0
da δG als geschlossene Kette oder als Rand eines Gebietes selbst keinen Rand hat.
Ein Beispiel:
Das Integral einer exakten 1-Form ω = dΦ über einen geschlossenen Weg
ist Null, da Anfangs- und Endpunkt des Weges identisch sind.
Daher kann man zu jeder geschlossenen p-Form ω eine exakte p-Form dπ
hinzuaddieren, ohne dass sich der Wert von
∫δG ω ändert:
∫δG (ω + dπ) = ∫δG ω + ∫δG dπ = ∫δG ω
Man kann daher auch sagen:
Es ist daher naheliegend, alle geschlossenen p-Formen jeweils zu einer Gruppe (Äquivalenzklasse) zusammenzufassen, wenn sie sich nur um eine exakte p-Form unterscheiden. Halten wir fest:
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Man bezeichnet das Studium von Mannigfaltigkeiten mittels Kohomologiegruppen als algebraische Topologie, da algebraische bzw. analytische Werkzeuge wie Differentialformen für topologische Untersuchungen eingesetzt werden. Schauen wir uns beispielhaft an, welche topologischen Informationen in den Kohomologiegruppen stecken:
Betrachten wir unser Beispiel von oben: die zweidimensionale reelle Ebene ohne den Nullpunkt M = R2 \ {0} .
Beginnen wir mit den geschlossenen Null-Formen, also den skalaren Funktionen Φ mit dΦ = 0. Hier entfällt die Bildung von Äquivalenzklassen, da es keine (− 1)-Formen gibt -- entsprechend hatten wir oben dΘ− 1(M) := {0} gesetzt. Aus dΦ = 0 folgt, dass Φ auf R2 \ {0} konstant ist. Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine solche konstante Funktion und umgekehrt. Die Menge der geschlossenen Null-Formen entspricht also hier der Menge der reellen Zahlen:
H0( R2 \ {0} ) ∼ R
(das Zeichen ∼ bedeutet hier soviel wie ist isomorph zu, lässt sich also eins-zu-eins aufeinander abbilden). Daraus kann man die Anzahl der Zusammenhangskomponenten von R2 \ {0} ablesen: sie ist gleich 1, da alle Punkte über Wege miteinander verbunden werden können. Bei Mannigfaltigkeiten M mit k Zusammenhangskomponenten ist dagegen
H0(M) ∼ Rk
da eine konstante Funktion durch k reelle Zahlen dargestellt werden muss (nämlich für jede Zusammenhangskomponente durch die reelle Zahl, die den Funktionswert dort angibt).
Weiter geht es mit den geschlossenen 1-Formen auf R2 \ {0} .
Diese 1-Formen sehen (bis auf die Addition einer exakten 1-Form dπ )
wegen der Bedingung dω = 0
alle wie unsere Magnetfeld-1-Form von oben aus:
ω =
á
B, dx
ñ =
a / r2 (− y dx + x dy)
Dabei entspricht a bis auf einen Faktor dem senkrecht durch den Ursprung fließenden Strom I,
d.h. a kann jede reelle Zahl annehmen (das Vorzeichen bestimmt dabei die Stromrichtung).
Zu jeder reellen Zahl a gehört also eindeutig eine 1-Form-Äquivalenzklasse [ω]
mit dem obigen Repräsentanten und umgekehrt.
In diesem Sinne entspricht die Menge der geschlossenen 1-Form-Äquivalenzklassen
der Menge der reellen Zahlen und wir schreiben:
H1( R2 \ {0} ) ∼ R
Man kann daraus die Zahl der null-dimensionalen Löcher (also die Zahl der fehlenden Einzelpunkte) ablesen: sie ist gleich 1 (enstprechend R = R1 ). Ohne das Loch im Ursprung wäre dagegen H1( R2 ) = { [0] } ∼ {0} . Dabei ist [0] die Äquivalentklasse der 1-Form ω = 0 , also die Klasse der exakten 1-Formen. Der Grund dafür ist klar: Ohne ein Loch ist die Menge R2 sternförmig, d.h. nach dem Lemma von Poincaré ist jede geschlossene Form auch zugleich exakt und gehört damit zu [0]. Es besteht ohne Löcher einfach nicht die Möglichkeit, Ströme gleichsam in den Löchern zu verstecken und so neue geschlossene 1-Formen zu erzeugen, die an den Löchern auch Pole (Singularitäten) aufweisen dürfen. So kann man verstehen, dass Löcher die Zahl der möglichen Differentialform-Sorten erhöhen und dass umgekehrt die möglichen Differentialform-Sorten (genau das ist nämlich die de Rham'sche Kohomologiegruppe) Auskunft über die vorhandenen Löcher geben. Hier noch einmal das Lemma von Poincaré in der Sprache der Kohomologiegruppen:
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Zurück zu unseren obigen Überlegungen mit Löchern: wie sieht der Fall mit mehreren Löchern aus? Bei k verschiedenen Löchern hätte man für jedes Loch eine 1-Form wie oben mit einem ringförmig um das Loch laufenden Magnetfeld. Jede dieser 1-Formen wäre durch eine reelle Zahl (entsprechend dem durch das Loch fließenden Strom) gekennzeichnet. Die allgemeine 1-Form wäre dann die Summe dieser 1-Formen, entsprechend der Superposition der Magnetfelder, plus eine irrelevante exakte 1-Form dπ. Diese allgemeine 1-Form wird durch die k reellen Zahlen charakterisiert, die die Stromstärken in den k Löchern darstellen. Daher schreiben wir analog zu oben:
H1( R2 \ {p1, p2, ..., pk} ) ∼ Rk
Diese Überlegung kann man auf den n-dimensionalen Raum erweitern (siehe z.B. Dirk Ferus: Analysis III, Kapitel 9.4, http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf ) Es gilt:
Hn − 1( Rn \ {p1, p2, ..., pk} ) ∼ Rk
Der Beweis dazu ist für n > 2 keineswegs trivial, sondern er ist eine Konsequenz aus einem tiefer liegenden Satz der Differentialtopologie, dem sogenannten Gradsatz von Hopf (siehe dazu wieder Dirk Ferus: Analysis III, Kapitel 9.4).
Ist nun die de Rham'sche Kohomologiegruppe etwas Exotisches oder etwas Zentrales im Bereich der Topologie? Es stellt sich heraus, dass sie etwas Zentrales ist, denn man kann zeigen, dass für eine kompakte Mannigfaltigkeit (also gleichsam endliche Mannigfaltigkeit; diese Voraussetzung ist wichtig!) die de Rham'sche Kohomologiegruppe mit anderen Kohomologiekonzepten übereinstimmt, für die die Topologie-Experten eine Vielzahl anderer Berechnungsmethoden kennen (siehe z.B. John Baez: This Week's Finds in Mathematical Physics (Week 182) June 19, 2002, http://math.ucr.edu/home/baez/week182.html). Wer sich also mit der Topologie von Räumen befasst, wird sich oft gerne der de Rham'schen Kohomologiegruppe bedienen. Daher spielt sie auch in der mathematischen Physik (besonders in der Stringtheorie) durchaus eine Rolle.
Um mit Hilfe der de Rham'schen Kohomologiegruppe etwas über die Topologie der Mannigfaltigkeit aussagen zu können, benötigt man allerdings einen Überblick über die Differentialformen, die auf der Mannigfaltigkeit möglich sind, oder genauer: einen Überblick über die verschiedenen Differentialform-Typen, die sich um mehr als nur eine exakte Form unterscheiden. Mit anderen Worten: man muss die de Rham'sche Kohomologiegruppe erst einmal haben!
Zum Glück kennt man eine Möglichkeit, wie man hier vorgehen kann: Es gibt eine Differentialgleichung für p-Formen, deren Lösungen jeweils genau die verschiedenen Differentialform-Typen darstellen. Die Lösungen der Differentialgleichung ergeben jeweils genau einen Repräsentanten pro Äquivalenzklasse. Der Lösungsraum der Differentialgleichung ist also isomorph zur de Rham'schen Kohomologiegruppe. Das ist sehr gut, denn nun kann man das Arsenal der Differentialgleichungen auf topologische Fragestellungen anwenden. Zwei Bereiche der Mathematik (Analysis und Topologie) berühren und bereichern sich hier gegenseitig, was zu vielen tieferen Einsichten führt.
Die gesuchte Differentialgleichung ist eine Verallgemeinerung der sogenannten Laplace-Gleichung, wie man sie beispielsweise für ein statisches elektrisches Potential Φ kennt. Hier ist diese bekannte Laplace-Gleichung (auch Potentialgleichung genannt):
Δ Φ = 0
Dabei ist der Laplace-Operator Δ
definiert als
Δ Φ =
div (grad Φ) , und Φ ist eine skalare Funktion.
In der Elektrostatik ist beispielsweise Φ
das Potential eines statischen elektrischen Feldes E,
also E = grad Φ
(das sonst hier übliche Minuszeichen lassen wir aus pädagogischen
Gründen weg -- es entspricht nur einer Richtungskonvention für
das elektrische Feld),
so dass
Δ Φ =
div (grad Φ) = div E
ist. Die Laplacegleichung
Δ Φ = 0
ist also gleichbedeutend mit
div E = 0 ,
d.h. E ist ein statisches elektrisches Feld im ladungsfreien
Raum, und Φ ist das elektrostatische Potential dazu.
Meist wird Φ dann durch irgendwelche Randwerte festgelegt, beispielsweise
durch vorgegebene Potentialwerte auf Kondensatorplatten.
Ein anderes Beispiel ist das Potential einer Punktladung,
die man im Ursprung versteckt. Man betrachtet dann die Potentialgleichung
in R3 \ {0} .
Insgesamt verhält sich Φ aufgrund der Laplacegleichung
sehr ähnlich zu einer Seifenblasenhaut, die man
zwischen irgendwelchen Drähten einspannt (was die Randbedingungen ergibt).
Es dürfen nirgendwo Berge oder Mulden in Φ vorhanden sein, da
dies Quellen des elektrischen Feldes und damit Ladungen entsprechen würde.
Wenn wir die Operatoren div und grad in die Sprache der Differentialformen übersetzen (siehe Kapitel 5.1.12: Hodge-Sternoperator, Volumenform, Gradient, Divergenz, Rotation ), so ist
dΦ =: ωgrad Φ
dΦ =
á
grad Φ, dx
ñ
d * ωE =: (div E) dV
d
á
E, dA
ñ
= (div E) dV
Die zweite und vierte Zeile zeigt jeweils die Schreibweise, wie man sie in der klassischen euklidischen dreidimensionalen Vektoranalysis kennt. Wir können nun Gradient und Divergenz kombinieren:
d * dΦ = d * ωgrad Φ
= (div (grad Φ)) dV
= (Δ Φ) dV
d * dΦ =
d *
á
grad Φ, dx
ñ
=
d
á
grad Φ, dA
ñ
=
(div (grad Φ)) dV
= (Δ Φ) dV
Um das dV noch zu entfernen, können wir noch einmal
den Sternoperator anwenden.
Wegen *dV = (− 1)s
(siehe
Kapitel 5.1.12: Hodge-Sternoperator, Volumenform, Gradient, Divergenz, Rotation,
s ist die Zahl der negativen Eigenwerte der metrischen Matrix bzw.
das Vorzeichen der Determinante dieser Matrix) erhalten wir:
* d * dΦ
= (Δ Φ) *dV
= (Δ Φ) (− 1)s
oder anders sortiert
Δ Φ = (− 1)s * d * dΦ
Den Operator * d * d können wir nun nicht nur auf skalare Funktionen anwenden, sondern auf beliebige p-Formen: d macht aus der p-Form eine (p + 1) -Form, * verwandelt sie in eine (n − p − 1) -Form, das nächste d macht daraus eine (n − p) -Form, und * darauf angewendet ergibt schließlich eine p-Form. Aus einer p-Form wird also durch * d * d wieder eine p-Form.
Nur im Fall p = n gibt es Schwierigkeiten, denn das erste d
macht aus einer n-Form im n-dimensionalen Raum eine Null.
Man kann jedoch einen zu * d * d eng verwandten Operator konstruieren,
der die Lücke schließt, indem man einfach die Reihenfolge der Sternoperatoren und der d-Operatoren
vertauscht: d * d * .
Aus einer n-Form wird dabei erst einmal eine 0-Form gemacht, mit der es dann
wie beim ursprünglichen Operator weitergeht (nur dass man auf letzten Stern verzichtet, so dass
es eine n-Form bleibt). Schreiben wir die n-Form als φ dV , so ergibt sich
d * d * (φ dV)
= d * dφ (− 1)s
= (Δ φ) dV (− 1)s
Allerdings hat der neue Operator ebenfalls eine Lücke,
nämlich bei den Null-Formen. Der Sternoperator verwandelt Null-Formen in n-Formen,
und der anschließende d-Operator macht aus ihnen wieder eine Null.
Wenn wir also eine Verallgemeinerung des Laplaceoperators von 0-Formen auf p-Formen suchen, so bietet es sich an, beide Operatoren oben zu addieren, wobei man noch eine bestimmte Vorzeichenkonvention trifft (die sich allerdings offenbar von Text zu Text unterscheiden; ich habe mich hier an Dirk Ferus: Analysis III, http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf orientiert):
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Bei Null-Formen (Funktionen) fällt der zweite Operator weg und es ergibt sich der weiter oben definierte Laplace-Operator. Bei n-Formen fällt der erste Operator weg, und es gilt (siehe oben) (− 1)s d * d * (φ dV) = (Δ φ) dV , also im Wesentlichen wieder der weiter oben definierte Laplace-Operator. Die obige Definition scheint also wirklich eine vernünftige Verallgemeinerung des Laplace-Operators auf p-Formen zu ergeben.
Und damit sind wir auch schon bei unserer Differentialgleichung angekommen, deren Lösungsraum isomorph mit der de Rham'schen Kohomologiegruppe ist, denn es gilt der folgende Satz:
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Ich möchte diesen Satz hier nicht beweisen (zumal ich den Beweis im Detail nicht kenne), aber es ist sicher interessant, zumindest einige Ideen kurz darzustellen, die hinter diesem Beweis stecken.
Die erste Idee besteht darin, ein Skalarprodukt auf dem Raum der p-Formen einzuführen. Die Basis dafür bildet die Definition des Hodge-Stern-Operators aus Kapitel 5.1.12: Hodge-Sternoperator, Volumenform, Gradient, Divergenz, Rotation:
α Λ (*ω) := g(α, ω) dV
mit der Volumenform dV und der punktweise definierten Metrik g(α, ω) . Die obige Gleichung gilt separat in jedem Punkt p der Mannigfaltigkeit, d.h. der Hodge-Stern-Operator ist punktweise definiert und benötigt keine Umgebungen von Punkten.
Für Differentialoperatoren benötigt man jedoch auch Umgebungen von Punkten. Daher verwenden wir die obige punktweise gegebene Gleichung und integrieren sie über alle Punkte der Mannigfaltigkeit bzw. geeigneter Teilgebiete. Da es sich insgesamt um n-Formen handelt, sind solche Integrale über geeignete Parametrisierungen (z.B. gegeben über die Koordinatenabbildungen) wohldefiniert. Auf diese Weise entsteht ein Skalarprodukt von p-Formen, das wir mit ( , ) bezeichnen:
(α, ω) := ∫M α Λ (*ω) = ∫M g(α, ω) dV
Aus der Funktionalanalysis bzw. aus der Quantenmechanik kannt man den Begriff des adjungierten Operators, den man über ein Skalarprodukt definiert. Genauso definieren wir hier den adjungierten d-Operator, den wir mit δ bezeichnen:
(α, δω) := (dα, ω)
Das Adjungieren wirft den Operator also gleichsam auf die andere Seite des Skalarproduktes. Nun muss auf beiden Seiten des Skalarproduktes eine Form gleichen Grades stehen. Um also (dα, ω) bilden zu können, muss zu einer p-Form α eine (p + 1) -Form ω hinzugenommen werden, da der d-Operator aus einer p-Form eine (p + 1) -Form macht. Die linke Seite (α, δω) macht daher nur Sinn, wenn der δ-Operator aus einer (p + 1) -Form wieder eine p-Form macht. Dies sieht man auch an der expliziten Formel für den δ-Operator, die sich aus der Definition ergibt:
δ = (− 1)[s + n(p − 1)] * d *
Der Laplaceoperator ist damit gleich
Δ = δd + dδ
und er ist selbstadjungiert: (α, Δω) := (Δα, ω) .
Man kann nun zeigen (siehe z.B. Smoczyk: Analysis auf Mannigfaltigkeiten, http://personal-homepages.mis.mpg.de/smoczyk/lectures/analysis.ps ), dass folgende Äquivalenz gilt:
Δω = 0 genau dann, wenn dω = 0 und δω = 0
Und nun kommt der entscheidende Schritt (siehe wieder Smoczyk: Analysis auf Mannigfaltigkeiten, http://personal-homepages.mis.mpg.de/smoczyk/lectures/analysis.ps ):
Man kann zeigen, dass die Menge der harmonischen Formen (d.h. es gilt Δω = 0 ) endlich-dimensional ist, und dass sich jede (nicht unbedingt geschlossene) p-Form eindeutig in die Summe einer harmonischen p-Form α (also Δα = 0 ), einer exakten p-Form dπ und einer ko-exakten p-Form δη zerlegen lässt:
ω = α + dπ + δη mit Δα = 0
Wir können hierauf den d-Operator anwenden und dann verwenden, dass ddπ = 0 ist und dα = 0 ist (denn oben hatten wir bereits gesagt, dass Δα = 0 äquivalent ist zu dα = 0 und δα = 0 ):
dω = dα + ddπ + dδη = dδη
Für die geschlossenen p-Formen (also dω = 0 ) ist dann also dδη = 0 und somit auch (dδη, η) = (δη, δη) = 0 . Da das Skalarprodukt nicht entartet ist, folgt δη = 0 . Dies setzen wir oben in ω = α + dπ + δη ein, so dass sich also die geschlossenen p-Formen eindeutig schreiben lassen als Summe einer harmonischen Form und einer exakten Form:
ω = α + dπ
Bei der Äquivalenzklassenbildung spielt dπ keine Rolle mehr: [ω] = [α] , d.h. die Elemente der de Rham'schen Kohomologiegruppe entsprechen eins-zu-eins den Lösungen der Hodge-Laplace-Gleichung. Genau das ist der Satz von Hodge.
Literatur zu dem Thema:
last modified on 02 January 2009