Kapitel 5
Die allgemeine Relativitätstheorie

1   Gekrümmte Räume (über die Grundlagen der Differentialgeometrie)

3   Mannigfaltigkeiten

Zunächst einmal starten wir mit einem Topologischen Raum, oder genauer: mit einem Raum, der eine Hausdorff-Topologie besitzt (ohne diese Forderung kommt man nicht aus, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Manifold ). Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar (sehe oben).

Um eine kontinuierliche Struktur im Raum konstruieren zu können, fordern wir vom betrachteten Raum, dass es lokale reelle Koordinatensysteme (auch Karten genannt) auf diesem Raum gibt. Nur solche Räume, bei denen das möglich ist, werden wir weiter betrachten.

Ein Beispiel für ein solches Koordinatensystem liefern Karten der Erdoberfläche. Teile der Erdoberfläche sind dabei in einem Atlas auf verschiedenen Karten abbilden. Allerdings schafft man es nicht, die komplette Erdoberfläche auf einer einzigen flachen Karte abzubilden, ohne irgendwo Schnitte vorzunehmen. Ein bekanntes Koordinatensystem auf der Erdoberfläche liefern die Längen- und Breitengrade. Lediglich an Nord- und Südpol verliert die Längengrad-Koordinate ihren Sinn, d.h. auch hier braucht man noch ein weiteres Koordinatensystem, um diesen Mangel auszugleichen. Das folgende Bild zeigt, wie Längen- und Breitengrade eine Kugel mit einem Koordinaten-Gitter überziehen:

Präzisieren wir, was wir unter Koordinaten auf dem Raum M verstehen wollen:

lokale Koordinaten (Karten): Im Raum M (mit Hausdorff-Topologie) lassen sich überall lokale Koordinaten einführen, wenn folgendes gilt: Jeder Punkt p des Raums M hat eine offene Umgebung U(p), die homöomorph (d.h. bijektiv stetig abbildbar) zu einer offenen Teilmenge V des n-dimensionalen reellen Raums Rn ist. Was im Rn eine offene Teilmenge ist, haben wir weiter oben bereits mit Hilfe der Kugelmengen B(p,r) definiert. Präzise bedeutet homöomorph, dass es zu der offenen Umgebung U(p) eine bijektive stetige Funktion f gibt, die jedem Punkt q dieser Umgebung eindeutig einen Punkt   x = f(q)   in Rn (genauer: in V ) zuordnet und umgekehrt. Der Bildpunkt x in Rn liefert dabei die n Koordinaten des betrachteten Punktes q bezüglich der durch f definierten Karte. Weiterhin soll auch die Umkehrfunktion f -1 stetig sein. Den Begriff der Stetigkeit hatten wir im letzten Kapitel bereits mit Hilfe der Topologie definiert (d.h. Urbilder offener Mengen müssen offen sein).

In dieser Definition ist von Differenzierbarkeit noch nicht die Rede. Man spricht daher von topologischen Mannigfaltigkeiten. Der Teilbereich Topologie der Mathematik beschäftigt sich mit denjenigen Eigenschaften solcher Mannigfaltigkeiten, die bei homöomorphen Abbildungen unverändert bleiben, und versucht so, die verschiedenen topologischen Räume zu klassifizieren. In diesem Sinn ist beispielsweise eine Würfeloberfläche homöomorph zu einer Kugeloberfläche, da sich beide Flächen stetig ineinander transformieren lassen. Die Kanten des Würfels stören dabei nicht, da wir noch nicht von Differenzierbarkeit gesprochen haben.

Differenzierbarkeit:

In den meisten Fällen benötigt man mehrere Karten, um alle Punkte eines Raumes mit Koordinaten versehen zu können. Schon bei der Erdoberfläche war es unmöglich, eine einzige Karte zu verwenden, die die obigen Bedingungen erfüllt. Außerdem gibt es i.a. viele verschiedene Möglichkeiten, um Koordinaten in Teilgebieten der Mannigfaltigkeit einzuführen. Eine naheliegende Forderung besagt daher: Die Karten müssen miteinander verträglich sein.

An dieser Stelle kommt nun die Differenzierbarkeit ins Spiel, denn wir wollen unter Verträglichkeit von Karten folgendes verstehen:

Wir betrachten zwei stetige bijektive Karten (Funktionen) f₁ und f₂, die Koordinaten für zwei Teilmengen U₁ und U₂ des betrachteten Raums zur Verfügung stellen. Wenn diese beiden Teilmengen überlappen, so liefert die Verkettung   f₁ ο f₂^-1   eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen des n-dimensionalen reellen Raums. Diese Abbildung rechnet die Koordinaten eines Punktes im Überlappungsbereich von f₂ -Koordinaten in f₁ -Koordinaten um. Verträglichkeit bedeutet nun, dass   f₁ ο f₂^-1   sowie   f₂ ο f₁^-1   beliebig oft differenzierbar sind. Damit vermeidet man, dass irgendwelche Knicke in den Koordinatensystemen entstehen, wenn man von einem Koordinatensystem in ein anderes umrechnet. Eine differenzierbare Kurve auf der Mannigfaltigkeit wird in beiden Koordinatensystemen ohne Knicke erscheinen.

Mit Hilfe der lokalen Koordinatensysteme können wir nun präzisieren, was wir unter einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit verstehen wollen:

differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand): Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand) ist ein Hausdorff-Raum (d.h. Punkte in diesem Raum sind aufgrund ihrer Umgebungen unterscheidbar, siehe oben), bei dem jeder Punkt p des Raums eine offene Umgebung U(p) besitzt, die homöomorph zu einer offenen Teilmenge V des Rn ist. Die Karten (Funktionen), die diese Abbildungen vornehmen, müssen untereinander verträglich sein (d.h. Kartenwechsel sind differenzierbare Funktionen im Koordinatenraum).

In der Literatur findet man hier noch Verfeinerungen dieser Definition. Beispielsweise fordert man noch das zweite Abzählbarkeitsaxiom, d.h. eine abzählbare Anzahl von Karten soll ausreichen, um die komplette Mannigfaltigkeit mit Koordinaten zu versorgen -- wir wollen darauf hier nicht näher eingehen.

Man kann sich die obige Definition einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit auch so veranschaulinen (wir hatten dies weiter oben bereits erwähnt):

• Eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit sieht lokal wie der reelle n-dimensionale euklidische Raum Rⁿ aus.

Analog sieht die Erdoberfläche im Kleinen aus wie die zweidimensionale euklidische Ebene R² -- nicht umsonst haben wir Menschen die Erde lange für eine flache Scheibe gehalten. Andere Beispiele für Mannigfaltigkeiten sind die n-dimensionale Kugeloberfläche Sⁿ oder die physikalische Raumzeit. Allgemein sind n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeiten die mathematische Präzisierung des anschaulichen Begriffs n-dimensionaler (evtl. in sich gekrümmter) reeller Raum. Den Begriff der Krümmung werden wir etwas später noch genau definieren, denn dafür ist wiederum mehr als nur Differenzierbarkeit erforderlich. Wir reden also bisher noch nicht über Dinge wie Abstände, Winkel oder Krümmungen. Insofern kann die obige Anschauung, dass eine Mannigfaltigkeit lokal wie der Rⁿ aussieht, etwas verwirrend sein. Sie bedeutet nur, dass wir lokal jeweils n reelle Koordinaten haben, und dass Koordinatenwechsel differenzierbar sein müssen.

Bemerkungen zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten:

Mannigfaltigkeiten kann man beispielsweise in dieselbe Gruppe (Klasse) einordnen, wenn sie stetig ineinander überführbar sind (also homöomorph zueinander sind, wie z.B. Kugeloberfläche und Würfeloberfläche). Für differenzierbare Mannigfaltigkeiten kann man noch feinere Klassen bilden, indem man verlangt, dass sie differenzierbar ineinander überführbar sind (also diffeomorph zueinander sind, wie z.B. Kugeloberfläche und eine Ei-Oberfläche). Beim Vergleich dieser beiden Klasseneinteilungen hat man einige interessante und kuriose Ergebnisse gefunden (siehe z.B. http://www-user.tu-chemnitz.de/~wend/Skripte/diffmfgk.pdf ):

• Wir betrachten irgendeine beliebige Klasse von zweidimensionalen zusammenhängenden kompakten Mannigfaltigkeiten, die alle stetig ineinander überführbar sind. Zusammenhängend bedeutet, dass die Mannigfaltigkeit nur aus einem Teil besteht. Kompakt bedeutet soviel wie endlich groß. Ein Beispiel wäre die Klasse aller Flächen, die sich stetig in eine Kugeloberfläche überführen lassen, beispielsweise auch Würfeloberflächen.

  Nun betrachten wir in dieser Klasse alle differenzierbaren Mannigfaltigkeiten (die also keine Ecken und Kanten besitzen, z.B. Eioberflächen) und fragen, wieviele Klassen (Sorten) Mannigfaltigkeiten es darin gibt, die differenzierbar ineinander überführbar sind (die also ineinander verformbar sind, ohne dass Ecken und Kanten auftreten). Ergebnis: es gibt genau eine solche Klasse.

  Zusammengefasst: In jeder Klasse zueinander homöomorpher (stetig ineinander umformbarer) zweidimensionaler zusammenhängender kompakter Mannigfaltigkeiten bilden die differenzierbaren (glatten) Mannigfaltigkeiten genau eine diffeomorphe Klasse (d.h. sie lassen sich alle differenzierbar ineinander umformen). Differenzierbar plus stetig-ineinander-transformierbar bedeutet also hier dasselbe wie differenzierbar-ineinander-transformierbar.

• Dasselbe nun für vierdimensionale Mannigfaltigkeiten: Hier gibt es in der Klasse von Mannigfaltigkeiten, die homöomorph zu R⁴ sind, sogar überabzählbar viele Klassen zueinander diffeomorpher Mannigfaltigkeiten (Freedman 1982, Donaldson 1983).

• Betrachten wir S⁷, also das siebendimensionale Analogon zur zweidimensionalen Kugeloberfläche S². Dann gibt es unter den zu S⁷ homöomorphen Mannigfaltigkeiten 28 verschiedene Klassen zueinander diffeomorpher Mannigfaltigkeiten (Milnor 1957).

• Bei vielen Klassen zueinander homöomorpher kompakter zusammenhängender vierdimensionaler Mannigfaltigkeiten lässt sich gar keine allgemeine Einteilung in diffeomorphe Unterklassen durchführen.

Man sieht also, wie kompliziert das Verhalten von Mannigfaltigkeiten sein kann. Besonders komplex sind dabei die vierdimensionalen Mannigfaltigkeiten. Man sagt auch (siehe z.B. http://www-user.tu-chemnitz.de/~wend/Skripte/diffmfgk.pdf ):

• Bis zur Dimension 3 ist nicht genug Platz für schlimme Dinge. Ab Dimension 5 ist wiederum genügend Platz vorhanden, um schlimme Dinge wieder gerade zu biegen.

Für mehr Informationen zur Klassifizierung von Mannigfaltigkeiten und zur sogenannten Poincare-Vermutung siehe Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.3 Die 3-Sphäre und die Poincaré-Vermutung .

Literatur zu dem Thema:

• Eine gute Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie, Differentialgeometrie und Topologie findet man unter http://theory.gsi.de/~vanhees/faq/gravitation/node1.html
• Das folgende Vorlesungsskript gibt eine sehr gut lesbare Einführung in die Differentialgeometrie mit vielen interessanten Kommentaren und Nebenbemerkungen, die das Verständnis erleichtern:
  Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry, Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps
• Ein kurzes Skript zur Differentialgeometrie mit vielen schönen Bildern: http://www-user.tu-chemnitz.de/~wend/Skripte/diffmfgk.pdf