Paralleltransport eines Vektors entlang einer geschlossenen Kurve auf einer Kugel.
Man sieht, dass sich nach einem Umlauf der Vektor um 90 Grad gedreht hat.
Das folgende Bild, das wir bereits aus Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport kennen, veranschaulicht diesen Zusammenhang am Beispiel einer Kugeloberfläche:
Wichtig ist, dass wir auf diese Weise die Krümmung vollkommen unabhängig von
einer Einbettung definieren können. Würden wir auf der Erde auf diese Weise einen
Paralleltransport durchführen, so könnten wir die Krümmung der Erdoberfläche erkennen,
ohne in den Weltraum hinausfliegen zu müssen! Übrigens: wir gehen davon aus, dass
unsere Kurve keine Löcher in der Mannigfaltigkeit (wie z.B. in einem Doghnut -- einem Torus)
umrundet, d.h. die Kurve soll topologisch trivial sein.
Konkret werden wir die Krümmung in einem Punkt p mit Hilfe einer infinitesimale geschlossene Kurve definieren, die in dem Punkt p startet und wieder endet. Beispielsweise kann man ein kleines Viereck nehmen, wobei wir hier nicht voraussetzen wollen, dass es sich um ein Parallelogramm handelt (mit einem Parallelogramm befassen wir uns weiter unten). Ein solches Viereck mit einem Punkt p als Eckpunkt lässt sich über eine differenzierbare Abbildung g von R2 auf die Mannigfaltigkeit M darstellen, d.h. g(t, t') ist für jedes Wertepaar ein Punkt auf der Mannigfaltigkeit. Die vier Punkte des Vierecks sollen nun durch p = g(0, 0) , q = g(ε, 0) , r = g(ε, ε') und s = g(0, ε') gegeben sein. Die vier Kurven, die die Seiten des Rechtecks darstellen, sind entsprechend gegeben durch g(t, 0) , g(0, t'), g(t, ε') und g(ε, t') mit t zwischen 0 und ε und t' zwischen 0 und ε'. Dabei wollen wir nicht verlangen, dass diese Kurven geodätische Linien sein müssen -- die Seiten des Vierecks müssen also nicht unbedingt gerade sein (Parallelität hatten wir ebenfalls nicht vorausgesetzt). Ein infinitesimales Viereck erhalten wir dann im Grenzübergang unendlich kleiner Werte für ε und ε'.
Wir wollen die beiden Richtungsvektoren in p, die in Richtung der Viereck-Seiten g(t, 0) und g(0, t') zeigen, mit u(p) und v(p) bezeichnen, d.h.
u(p) Φ = dΦ(g(t, 0)) / dt |t = 0
v(p) Φ = dΦ(g(0, t')) / dt' |t' = 0
mit einer skalaren Funktion Φ auf der Mannigfaltigkeit.
Man kann nun einen Tangentialvektor w(p) entlang der Seiten dieses Rechtecks von p über q und r nach s und schließlich zurück nach p paralleltransportieren und diesen Vektor w'(p) mit dem ursprünglichen w(p) vergleichen. Die etwas mühsame Rechnung findet man beispielsweise in Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry, Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps . Wir wollen sie hier überspringen und nur das Ergebnis angeben. In zweiter Ordnung der Parameter ε und ε' ergibt sich für die Komponenten von w (bezogen auf Koordinaten x mit Koordinatenfunktion f):
(w'(p) − w(p))μ = ∑νρσ Rμνρσ wν(p) uρ(p) vσ(p) ε ε' + ... mit
Rμνρσ = dΓ μσν / dxρ − dΓ μρν / dxσ + ∑α ( Γ μρα Γ ασν − Γ μσα Γ αρν )
Dabei stellen die drei Punkte ... wie im letzten Kapitel Terme höherer Ordnung in ε und ε' dar, die im Grenzfall sehr kleiner ε und ε' keine Rolle mehr spielen.
Wir bezeichnen Rμνρσ als die Komponenten des Riemann'schen Krümmungstensors. Dieser Tensor stellt die Krümmung einer Mannigfaltigkeit im Punkt p mathematisch dar.
Nun ist die obige Formel etwas unübersichtlich.
Man kann sie mit Hilfe von Differentialformen in eine übersichtlichere
Form bringen. Dazu verwenden wir die in Kapitel 5.1.6
Kovariante Ableitung und Paralleltransport definierte
Matrix Θ , deren Elemente die folgenden Co-Tangentialvektoren sind
(das Argument p lassen wir zur Vereinfachung weg):
Θ ρμ := ∑ν Γ ρνμ dxν
Man kann nun ein sogenanntes äußeres Produkt Λ (auch Dachprodukt oder antisymmetrisches Tensorprodukt genannt) zwischen zwei Co-Tangentialvektoren wie folgt definieren:
|
Wir wollen nun das äußere Produkt dazu verwenden, um die Matrix Θ Λ Θ zu definieren:
(Θ Λ Θ)μν
:=
:= ∑α
Θμα Λ Θαν
=
=
∑α
(∑ρ Γ μρα dx ρ)
Λ
(∑σ Γ ασν dxσ)
=
=
∑αρσ
Γ μρα
Γ ασν
dx ρ Λ dxσ
so dass
(Θ Λ Θ)μν (u, v)
=
=
∑αρσ
Γ μρα
Γ ασν
[ dx ρ Λ dxσ ] (u, v)
=
=
∑αρσ (
Γ μρα
Γ ασν
−
Γ μσα
Γ αρν )
u ρ vσ
ergibt. Das ist genau der Summenterm im Krümmungstensor!
Um auch die Ableitungsterme umschreiben zu können, definieren wir die äußere Ableitung eines Co-Tangentialvektors wie folgt:
|
Dies können wir nun auf Θ anwenden:
(dΘ)μν :=
d(Θμν) =
=
∑ρ dΓμρν dx ρ
=
=
∑ρσ
dΓμρν / dxσ
dxσ Λ dx ρ
so dass
(dΘ)μν (u, v) =
=
∑ρσ
dΓμρν / dxσ
[ dxσ Λ dx ρ ] (u, v)
=
=
∑ρσ
( dΓμσν / dxρ
−
dΓμρν / dxσ )
uρ v σ
Das ist genau der Ableitungsterm im Krümmungstensor. Es bietet sich daher an, die folgende Krümmungs-2-Form-Matrix R wie folgt zu definieren:
|
Die elegante Darstellung R := dΘ + Θ Λ Θ geht auf Élie Cartan (1869 - 1951, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/%C9lie_Cartan ) zurück. Die Darstellung besitzt ein enges Analogon in der Eichtheorie, in der Θ durch die Eichpotentialform A und R durch den Feldstärketensor F ersetzt wird (siehe auch Die Grenzen der Berechenbarkeit, Kapitel 5.4.6 Eichtheorien ).
Für die Definition der Krümmungsmatrix R haben wir bestimmte Koordinaten x verwendet, d.h. die konkrete Form der Matrix R ist koordinatenabhängig. Weiter unten werden wir den Riemann'schen Krümmungstensor (den wir ebenfalls mit R bezeichnen werden, um nicht zu viele Bezeichnungen zu verwenden) noch koordinatenunabhängig einführen. Für den Moment merken wir uns:
Fragen wir uns nach dem Transformationsverhalten von R bei Koordinatenwechseln. In Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport hatten wir gesehen: Geht man nun von Koordinaten x zu Koordinaten x' über mit der Jacobi-Matrix Jλμ := dxλ/dx'μ (wir verwenden hier die etwas unsaubere, aber sehr praktische und intuitive Physiker-Schreibweise), so gilt die Matrixgleichung
Θ' = J − 1 Θ J + J − 1 d J
Dabei ist Θ' die Matrix bezüglich der neuen Koordinaten x'. Die äußere Ableitung dJ kennen wir bereits von der Definition von dΦ aus Kapitel 5.1.5 Co-Tangentialräume und Differentialformen -- sie gilt hier für jedes Matrixelement von J. Eine kleine Rechnung (die wir hier überspringen) zeigt:
R' = J − 1 R J
Das Transformationsverhalten von R ist also sehr einfach. Insbesondere folgt aus R = 0 , dass auch R' = 0 ist. Bei Θ ist das nicht so (das muss auch so sein, denn schließlich kann man immer von karthesischen Koordinaten (d.h. Θ = 0 ) zu krummlinigen Koordinaten (d.h. Θ' ungleich 0 ) übergehen).
Bei der obigen Diskussion haben wir die Details der Rechnung, die den Zusammenhang zwischen den Komponenten Rμνρσ des Riemannschen Krümmungstensors und den Christoffelsymbolen herstellt, einfach übersprungen. Wir wissen nur: Wenn man einen Vektor w entlang eines infinitesimalen Vierecks im Kreis paralleltransportiert, so kann man den Unterschied des neuen Vektors w' zu w mit Hilfe der Paralleltransport-Differentialgleichung ausrechnen und erhält die oben angegebene Formel für Rμνρσ . Später haben wir diese Formel eleganter als R = dΘ + Θ Λ Θ geschrieben. Der Grund, warum wir R als Krümmung bezeichnet haben, liegt dabei in der folgenden Anschauung: w und w' sind nur dann verschieden, wenn eine Krümmung vorliegt. Also muss R ein Maß für die Krümmung sein.
Cartans Darstellung ermöglicht es uns nun, eine Motivation dafür finden, warum diese Formel für R tatsächlich etwas mit einer Krümmung zu tun haben soll. Genauer wollen wir folgendes zumindest plausibel machen:
Anmerkung:
Bei allgemeinen affinen Zusammenhängen Θ mit nicht-verschwindender Torsion
gibt es flache Zusammenhänge (d.h. R = 0 ), die nicht affin-flach sind.
Beginnen wir also mit R = dΘ + Θ Λ Θ = 0 . Eine Lösung für Θ lautet Θ = G − 1 dG mit einer invertierbaren reellen Matrix G. Erfüllt dieses Θ die geforderte Gleichung? Überprüfen wir es:
d Θ =
= d (G − 1 dG) =
= dG − 1 Λ dG =
= (dG − 1) G G − 1
Λ dG =
= (dG − 1) G
Λ G − 1 dG =
= − G − 1 dG
Λ G − 1 dG =
= − Θ Λ Θ
d.h. der Ansatz Θ = G − 1 dG erfüllt R = 0 . Dabei haben wir verwendet, dass d d G = 0 ist wegen der Antisymmetrie des Dachproduktes und der Vertauschbarkeit der partiellen Ableitungen. Weiter haben wir verwendet, dass die Matrixelemente von G reelle Zahlen sind, so dass G mit Λ vertauscht. Und schließlich folgt aus 0 = d (G − 1 G) = (dG − 1) G + G − 1 dG die Beziehung (dG − 1) G = − G − 1 dG , was wir am Schluss verwendet haben.
Umgekehrt stellt sich natürlich die Frage: Ist Θ = G − 1 dG auch die allgemeinste Lösung für R = 0 ? An dieser Stelle bin ich mir etwas unsicher. Gemäß Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry (Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps , Kapitel 3.10.3 Theorem 12) gilt R = 0 genau dann, wenn es ein Koordinatensystem gibt mit Γ ρνμ = dD ρμ / dxν (bei Matt Visser sind die Christoffelsymbole übrigens gerade mit vertauschten Indices definiert). Dabei sind D ρμ die Matrixelemente einer Diagonalmatrix D (nicht mit der kovarianten Ableitung verwechseln!). Mit
Θ ρμ = ∑ν Γ ρνμ dxν = ∑ν (dD ρμ / dxν) dxν = d D ρμ
können wir dies einfach schreiben als Θ = dD (man sieht, wie praktisch Cartans Schreibweise ist!). Dabei ist auch Θ eine Diagonalmatrix. Diese Form hat Θ gilt allerdings nur in einem ganz bestimmten Koordinatensystem. Unter welchen Voraussetzungen man durch eine Koordinatentransformation auf die Form Θ = G − 1 dG kommt, habe ich -- ehrlich gesagt -- nicht ausprobiert. Sollte sich hier jemand auskennen, bitte Email an mich.
Kann man nun für Θ = G − 1 dG neue Koordinaten x' finden, so dass Θ' = 0 ist? Versuchen wir es:
0 =
Θ'
=
= J − 1 Θ J +
J − 1 d J
=
= J − 1 G − 1 (dG) J +
J − 1 d J
=
= (G J) − 1 { d (G J) − G d J }
+
J − 1 d J
=
=
(G J) − 1 d (G J)
−
(G J) − 1 G d J
+
J − 1 d J
=
=
(G J) − 1 d (G J)
−
J − 1 d J
+
J − 1 d J
=
=
(G J) − 1 d (G J)
Wir müssen also die Koordinatentransformation so wählen, dass für die entsprechende Jacobimatrix J gilt: G J = 1 , d.h. J ist gerade die zu G inverse Matrix.
In Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry ( Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps ) findet man zur Beziehung von Krümmung und affinen Zusammenhang eine ganze Reihe von Aussagen, die wir hier ohne Beweis einfach auflisten wollen:
|
|
Unsere geometrische Überlegung zu Beginn dieses Kapitels liefert im Grunde bereits den Beweis der Aussage, dass R = 0 gleichwertig zu einem integrablen affinen Zusammenhang ist, denn ein Paralleltransport entlang einer geschlossenen Kurve misst ja gerade die Wegabhängigkeit des Paralleltransportes. Der Schritt von infinitesimalen Kurven zu endlichen Kurven ist dabei nicht schwierig, denn eine endliche geschlossene Kurve kann man schrittweise in immer kleinere geschlossene Kurven zerlegen (so geht man beispielsweise auch in der dreidimensionalen Analysis beim Zusammenhang zwischen der Rotation eines Vektorfeldes und Wegintegralen über geschlossene Kurven vor -- Stichwort Satz von Stokes).
Man kann die Aussage auch auf ganz andere Art beweisen, indem man den Integrationssatz von Frobenius über bestimmte Differentialgleichungen verwendet (siehe wieder Matt Visser: Math 464: Notes on differential geometry ( Victoria University of Wellington, New Zealand, 2004, http://www.mcs.vuw.ac.nz/courses/MATH464/2004T1/Lecture-Notes/notes.ps ). Dabei drückt man die Wegunabhängigkeit des Paralleltransports direkt durch die Differenzialgleichung für ein Parallelfeld längs einer Kurve aus. Schauen wir uns das genauer an:
Die Differenzialgleichung für ein Parallelfeld längs einer Kurve lautet (siehe Kapitel 5.1.6 Kovariante Ableitung und Paralleltransport):
duρ(γ(t')) / dt' |t' = t + ∑μν uμ(γ(t)) Γ ρνμ(γ(t)) vν(γ(t)) = 0
Dabei sind vν(γ(t)) die vorgegebenen Koeffizienten des zur Kurve γ(t) gehörenden Tangentialvektors, und u(γ(t)) = ∑μ uμ(γ(t)) d/dxμ|γ(t) ist ein Parallelfeld längs der vorgegebenen Kurve γ. Wir können den ersten Term noch etwas umschreiben (siehe Kapitel 5.1.4 Tangentialräume und Vektorfelder):
duρ(γ(t')) / dt' |t' = t = v(γ(t)) uρ = ∑ν vν(γ(t)) d/dxν|γ(t) uρ
so dass wir die Differenzialgleichung schreiben können als:
∑ν { d/dxν|γ(t) uρ + ∑μ uμ(γ(t)) Γ ρνμ(γ(t)) } vν(γ(t)) = 0
Nun soll der Paralleltransport integrabel sein, d.h. die konkrete Form der Kurve darf keine Rolle mehr spielen. Die obige Gleichung muss für alle Kurven richtig sein, also auch für alle Kurven-Tangentialvektoren v(γ(t)), und für jede Kurve dasselbe u ergeben. Wir können daher die obige Gleichung als eine Matrixgleichung für den Spaltenvektor v auffassen, die für jedes v richtig sein muss, so dass wir v weglassen können und das folgende Gleichungssystem verlangen dürfen (die Argumente wie γ(t) lassen sir hier weg):
duρ / dxν + ∑μ uμ Γ ρνμ = 0
wobei wir uρ direkt als eine Funktion der Koordinaten x verstehen wollen (so vermeiden wir das lästige Einfügen der Koordinatenfunktion f ). Dieses Differenzialgleichungssystem ist gleichwertig zu der Forderung, dass der Zusammenhang integrabel sein soll! Dabei sind die Differenzialgleichungen spezielle Exemplare aus der Klasse der Differenzialgleichungen vom Frobenius-Mayer-Typ. Nach dem Integrationssatz von Frobenius ist dieses Gleichungssystem genau dann lösbar, wenn die Integrabilitätsbedingung
dΓ μσν / dxρ − dΓ μρν / dxσ + ∑α ( Γ μρα Γ ασν − Γ μσα Γ αρν ) = 0
erfüllt ist. Dies sind aber gerade die Komponenten des Riemannschen Krümmungstensors, d.h. die Integrabilitätsbedingung lautet einfach R = 0 .
koordinatenfreie Formulierung:
Die obige Definition des Riemannschen Krümmungstensors bezieht sich auf vorgegebene Koordinaten. Dies ändert sich auch durch Cartans kompakte Schreibweise nicht. Es ist jedoch (analog zur Torsion im vorhergehenden Kapitel) oft nützlich, eine koordinatenunabhängige Formulierung zu haben. Wir wollen daher versuchen, eine solche Formulierung zu finden.
Im Riemannschen Krümmungstensor treten Produkte sowie Ableitungen von Christoffelsymbolen auf. Solche Terme erhält man, wenn man zwei kovariante Ableitungen nacheinander ausführt, also beispielsweise Terme wie Du Dv w betrachtet. Wegen der Antisymmetrie von R bezüglich u und v ist es sinnvoll, daraus den antisymmetrischen Ausdruck Du Dv w − Dv Du w zu bilden. Schreibt man diesen Ausdruck explizit in Komponenten aus, so stellt man jedoch fest, dass man noch Terme übrig behält. Diese lassen sich zum Ausdruck D[u, v] w zusammenfassen, wobei [u, v] die Lieklammer aus dem letzten Kapitel (über Torsion) ist.
Wir wollen die etwas mühsame Rechnung hier überspringen und direkt das Endergebnis angeben:
|
(Hinweis: in vielen Fällen ist [u, v] = 0 , beispeilsweise für u = d/dxμ und v = d/dxν ). Dabei ist R(u,v) hier nicht als Matrix zu lesen, sondern als Tensor auf den Tangentialvektoren, d.h.
R(u,v) w := ∑μ
[R(u, v) w]μ d/dx μ
=
∑μν Rμν (u, v) wν(p)
d/dx μ
=
=
∑μνρσ
Rμνρσ
wν(p) uρ(p) vσ(p)
d/dx μ
Hierbei verwenden wir die Schreibweise R(u,v) w in doppeltem Sinn: Auf der linken Seite des ersten Gleichheitszeichens wirkt der Tensor R(u,v) auf den Tangentialvektor w . Auf der rechten Seite des ersten Gleichheitszeichens ist R eine 2-Form im Sinne Cartans, die auf die Tangentialvektoren u und v angewendet eine Matrix ergibt, die auf den Spaltenvektor w angewendet wird (so wie weiter oben beschrieben).
Es ist interessant, den Ausdruck
R(u,v) = Du Dv − Dv Du − D[u, v]
für den Krümmungstensor mit dem Ausdruck für die Torsion aus dem letzten Kapitel zu vergleichen:
T(u, v) = Du v − Dv u − [u, v]
Zur Erinnerung: die Torsion T(u, v) ist ein Tangential-Vektorfeld. Die Torsion kann man daher als Vektorfeld auf skalare Funktionen anwenden, beispielsweise auf Koordinatenfunktionen (in diesem Fall liefert die Torsion die Lücke in infinitesimalen Parallelogrammen, siehe vorheriges Kapitel). Um aus der Torsion den Krümmungstensor zu machen, muss man nun einfach aus jedem der Vektoren u, v und [u, v] die zugehörige kovariante Ableitung machen. Den Krümmungstensor kann man nun auf Tangentialvektorfelder anwenden und so bestimmen, wie stark sich ein Vektor w ändert, wenn er infinitesimal im Viereck (gegeben durch u und v) im Kreis paralleltransportiert wird. Auf diese Weise erhält man ein Maß für die Krümmung der Mannigfaltigkeit.
Sowohl die Torsion als auch der Krümmungstensor enthalten jeweils Terme, wie sie den Seiten eines infinitesimalen Parallelogramms mit geschlossener Lücke entsprechen (siehe letztes Kapitel): Man läuft ein kleines Stück in v-Richtung, dann ein kleines Stück in u-Richtung, springt über die Lücke (geht also ein kleines Stück in − [u, v] -Richtung) und geht dann in v-Richtung und u-Richtung wieder zum Ausgangspunkt zurück. Dies kann man sich als Motivation für die genaue Form von Krümmungstensor und Torsion merken.
Interessanterweise enthalten weder die Torsion noch die Krümmung Ableitungen der Tangentialvektoren, obwohl im Prinzip die kovarianten Ableitungen solche Terme erzeugen könnten. Grund: Durch die antisymmetrische Struktur fallen diese Terme jeweils weg. Als Folge davon hängt die Torsion nur von Christoffelsymbolen (genauer: von deren antisymmetrischen Anteil) ab
T ρνμ := Γ ρνμ − Γ ρμν
während die Krümmung zusätzlich noch erste Ableitungen der Christoffelsymbole enthält:
Rμνρσ = dΓ μσν / dxρ − dΓ μρν / dxσ + ∑α ( Γ μρα Γ ασν − Γ μσα Γ αρν )
Terme mit Ableitungen von u, v oder w gibt es nicht. Dadurch wird die Linearität in u, v und ggf. w bei T(u, v) und R(u, v) w sichergestellt.
Man kann die koordinatenfreie Darstellung des Krümmungstensors etwas umstellen und dadurch den foldenden Ausdruck für das Vertauschen kovarianter Ableitungen gewinnen:
Du Dv − Dv Du = R(u,v) + D[u, v]
Den Term D[u, v] kann man wiederum mit Hilfe der Torsion ausdrücken, was wir hier aber weglassen wollen. Man bezeichnet die entsprechende Gleichung auch als Ricci-Identität.
Der Krümmungstensor ist wie die Torsion antisymmetrisch in u und v. Man kann sich weiter fragen, ob der Ausdruck R(u, v) w weitere Symmetrien bzgl. w aufweist. Eine solche wichtige Symmetrie ist im torsionsfreien Fall die Folgende:
R(u, v) w + R(v, w) u + R(w, u) v = 0
Bei nichtverschwindender Torsion steht dagegen auf der rechten Seite ein Term, der Ableitungen der Torsion enthält. Insofern gibt es durchaus gewisse Zusammenhänge zwischen Torsion und Krümmungstensor.
Außerdem gilt:
Du R(v, w) + Dv R(w, u) + Dw R(u, v) = 0
oder in Cartans Schreibweise
dR = R Λ Θ − Θ Λ R
wie man aus R = dΘ + Θ Λ Θ ableiten kann (überspringen wir hier).
Eine kleine Übung zum Abschluss: Wir wollen uns einmal den Krümmungstensor zu den total antisymmetrischen Christoffelsymbolen aus Kapitel 5.1.7 Torsion ansehen. Zur Erinnerung: Wir betrachten Γ ρνμ = ε ρνμ . Dabei ist ε ρνμ gleich Null für zwei gleiche Indices, antisymmetrisch bei Vertauschung zweier Indices und es ist ε 12 3 = ε 23 1 = ε 31 2 = 1 . Eine kurze Rechnung ergibt: Rμνρσ = δμσ δρν − δμρ δσν . Überaschenderweise ist die Krümmung also nicht Null, obwohl die geodätischen Linien Geraden sind. Im nächsten Kapitel werden wir den Zusammenhang zwischen Metrik und affinem Zusammenhang untersuchen. Vielleicht verstehen wir dann diesen überaschenden Sachverhalt besser.
Literatur zu dem Thema:
last modified on 30 December 2008