Darstellungen der Poincaregruppe Die S-Matrix im Wechselwirkungsbild

Gapgleichung und chirale Symmetriebrechung

ausgearbeitet von Jörg Resag zum Teil nach Vorträgen von H.R.Petry Institut für theoretische Kernphysik Nuallee 14-16 D-5300 Bonn, Germany

1992

Zusammenfassung

Die hier vorliegende Sammlung schließt an die Sammlung von Vorlesungen zu speziellen Themen von H.R.Petry, 1991 [Petry] an. Die dort verwendete Notation wird auch hier benutzt.

Inhaltsverzeichnis

1 Darstellung der Poincaregruppe auf ebenen Wellen 1 1.1 Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Drehungen im Ruhesystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Boosts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 eigentliche Lorentztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Parität P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.6 Zeitumkehr T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Darstellung der Poincaregruppe auf dem Fockraum 7 2.1 eigentliche Lorenztransformationen . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.2 Parität P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.3 Zeitumkehr T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.4 Ladungskonjugation C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Die S-Matrix im Wechselwirkungsbild 12 3.1 Das Wechselwirkungsbild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 3.2 Die S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.3 Mølleroperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.4 Die Reduktionsformel für zeitgeordnete Produkte von Dirac-

feldern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Gapgleichung und chirale Symmetriebrechung 17

1 Darstellung der Poincaregruppe auf ebenen Wellen

Dieses Kapitel gibt einen Überblick zu Darstellungen mit Masse > 0 der Poincaregruppe auf ebenen Wellen. Dabei wurden die Bezeichnungen aus H.R.Petry: Eine Sammlung von Vorlesungen zu speziellen Themen [Petry] übernommen. Die dort hergeleiteten Zusammenhänge werden hier vorausgesetzt (Weyl-Basis für s = 1/2).

Im Folgenden arbeiten wir mit der Ket-Schreibweise. Sei dazu |x⃗, t⟩ ein Vektor (genauer: eine Distribution) mit

⟨x⃗, t |x′, t⟩ = δ^{3}(x⃗ − x′)
1 = ∫ d^{3}x |x⃗, t⟩ ⟨x⃗, t|

In der Weyl-Basis sind Lösungen der Diracgleichung (Spin 1/2) zu scharfem Impuls und z-Komponente des Spins s_{3} (wird unten noch definiert) gegeben durch

ψ_{p,s_{3}}(x) = e^{−ipx} ψ_{s_{3}}(p) = e^{−ipx} ( \begin{matrix}ξ_{s_{3}}(p) \\ σ̃ (\frac{p}{m}) ξ_{s_{3}}(p) \end{matrix} ) =: ⟨x⃗, t |p, 1/2, s_{3}⟩

Zu jedem festen p⃗ gibt es vier linear unabhängige Lösungen, gekennzeichnet durch p^{0} = ±\sqrt{p^{2} + m^{2}}, s_{3} = ±1/2. Sie bilden eine Basis für die Lösungen der Diracgleichung. Um ξ_{s_{3}} zu definieren, gehen wir ins Ruhesystem p⃗ = 0. Dann ist

ψ(me_{0}) = ( \begin{matrix}ξ(me_{0}) \\ ξ(me_{0}) \end{matrix} )

eine Lösung der Diracgleichung im Impulsraum und wir haben im Ruhesystem eine Spinbasis χ_{s_{3}} gegeben durch

χ_{1/2} = ξ_{1/2}(me_{0}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \end{matrix} )
χ_{−1/2} = ξ_{−1/2}(me_{0}) = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \end{matrix} )

Wegen

(γ(p) − m)(γ(p) + m) = p^{2} − m^{2} = 0

ist für allgemeines p

ψ_{s_{3}}(p) = N_{p} (γ(p) + m)ψ_{s_{3}}(me_{0}) =
= N_{p} ( \begin{matrix}(m + σ(p)) ξ_{s_{3}}(me_{0}) \\ (m + σ̃(p)) ξ_{s_{3}}(me_{0}) \end{matrix} ) =: ( \begin{matrix}ξ_{s_{3}}(p) \\ σ̃ (\frac{p}{m}) ξ_{s_{3}}(p) \end{matrix} )

eine Lösung von (γ(p) − m) ψ(p) = 0.

Sei zunächst p^{0} > 0, und sei g_{p} ∈ SL(2, C) ein Boost, d.h. die zugehörige Lorentztransformation erfüllt Λ_{p} me_{0} = p. Damit ist dann

(T_{g_{p}}ψ_{me_{0},s_{3}})(x) = e^{−i ⟨me_{0} |λ_{p}^{−1}x⟩} ( \begin{matrix}g_{p} & 0 \\ 0 & (g_{p}^{+})^{−1} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}χ_{s_{3}} \\ χ_{s_{3}} \end{matrix} ) =
= e^{−ipx} ( \begin{matrix}g_{p}χ_{s_{3}} \\ (g_{p}^{+})^{−1}χ_{s_{3}} \end{matrix} ) =
= e^{−ipx} ψ_{s_{3}}(p) = ψ_{p,s_{3}}(x)

auch eine Lösung von (γ(p) − m) ψ(p) = 0, so daß wir sie versuchsweise gleich der obigen Lösung gesetzt haben. Die Normierungskonstanten N_{p} ist dann oben so zu wählen, daß g_{p} ∈ SL(2, C), d.h. det g_{p} = 1. Durch explizites Ausrechnen erhalten wir

N_{p} = (det(m + σ(p)))^{−1/2} = (2m(m + p^{0}))^{−1/2}

und somit

g_{p} = \sqrt{\frac{m}{2(m + p^{0})}} (1 + \frac{σ(p)}{m})

Wir quadrieren zur Probe und erhalten

g_{p}^{2} = σ (\frac{p}{m})

Somit ist also

g_{p} = σ (\frac{p}{m})^{1/2}

Dieses Ergebnis hatten wir auch früher schon erhalten [Petry]. Um den Fall p^{0} < 0 einzuschließen, können wir

N_{p} = (2m |m + p^{0}|)^{−1/2}

wählen. Für p^{0} < 0 ist dann allerdings det g_{p} = −1, so daß g_{p} ∉ SL(2, C) ist.

Im Folgenden beschränken wir uns auf den Fall p^{0} > 0. Da g_{p} hermitesch ist, muß dadurch auch ein Boost dargestellt werden, da für Drehungen ein unitärer Anteil nötig ist (vgl. unten). Wir haben also

ξ_{s_{3}}(p) = g_{p} χ_{s_{3}}
ψ_{p,s_{3}}(x) = e^{−ipx} ( \begin{matrix}g_{p} χ_{s_{3}} \\ g_{p}^{−1} χ_{s_{3}} \end{matrix} )

denn es ist

σ̃ (\frac{p}{m}) σ (\frac{p}{m})^{1/2} = σ̃ (\frac{p}{m}) σ (\frac{p}{m}) σ (\frac{p}{m})^{−1/2} = σ (\frac{p}{m})^{−1/2} = g_{p}^{−1}

Zur Illustration berechnen wir explizit Λ_{p} für einen Boost in z-Richtung

g_{p} = 1 cosh \frac{ϕ}{2} + σ_{3} sinh \frac{ϕ}{2}

Wir hatten gezeigt [Petry], daß

Λ_{p} = ( \begin{matrix}cosh ϕ & 0 & 0 & sinh ϕ \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ sinh ϕ & 0 & 0 & cosh ϕ \end{matrix} )

Durch Vergleich erhalten wir

cosh \frac{ϕ}{2} = \sqrt{\frac{m}{2(m + p^{0})}} (1 + \frac{p^{0}}{m} )
sinh \frac{ϕ}{2} = \sqrt{\frac{m}{2(m + p^{0})}} \frac{|p⃗|}{m}
cosh ϕ = cosh^{2} \frac{ϕ}{2} + sinh^{2} \frac{ϕ}{2} =
= \frac{p^{0}}{m}
sinh ϕ = \sqrt{cosh^{2} ϕ − 1} = \frac{|p⃗|}{m}

so daß Λ_{p} me_{0} = p gilt.

Für die Normierung der Zustände |p, 1/2, s_{3}⟩ erhalten wir

⟨p′, 1/2, s′_{3} |p, 1/2, s_{3}⟩ = ∫ d^{3}x ψ_{p′,s′_{3}}^{+}(x) ψ_{p,s_{3}} = (2π)^{3} \frac{2p^{0}}{m} δ^{3}(p⃗ − p⃗′) δ_{s′_{3},s_{3}}

mit p^{0} = ±\sqrt{p^{2} + m^{2}} und signp^{0} = signp^{′0}. Für signp^{0} ≠ signp^{′0} ist

⟨p′, 1/2, s′_{3} |p, 1/2, s_{3}⟩ = 0

Das Skalarprodukt war invariant unter der Poincaregruppe gewesen [Petry]. Umgekehrt bedeutet das, daß bei obiger Normierung der ebenen Wellen die Poincaregruppe unitär dargestellt wird. Die Vollständigkeitsrelation lautet für s = 1/2 und p^{0} > 0

1 = ∑_{s_{3}=±1/2} ∫ \frac{d^{3}p}{(2π)^{3}} \frac{m}{2p^{0}} |p, 1/2, s_{3}⟩ ⟨p, 1/2, s_{3}|

Allgemeiner sei |p, s, s_{3}⟩ ein Zustand zur Masse m mit Viererimpuls p (mit p^{0} > 0), Spin s und z-Komponente des Spins s_{3}. Wir wollen nun eine Darstellung T_{g,a} , g ∈ SL(2, C), , a ∈ R^{4} der Überlagerungsgruppe der Poincaregruppe auf diesen Zuständen definieren, die konsistent ist mit der Darstellung für s = 1/2 ist, d.h. mit

(T_{g,a}ψ_{p,s_{3}})(x) = ( \begin{matrix}g & 0 \\ 0 & (g^{+})^{−1} \end{matrix} ) ψ_{p,s_{3}}(Λ^{−1}(x − a))

1.1 Translationen

Aus der oben angegebenen Darstellung für s = 1/2 liest man ab, daß

(T_{a}ψ_{p,s_{3}})(x) = ψ_{p,s_{3}}(x − a) == ψ_{p,s_{3}}(x) e^{ipa}

Für allgemeinen Spin definieren wir daher

T_{a} |p, s, s_{3}⟩ = e^{ipa} |p, s, s_{3}⟩

1.2 Drehungen im Ruhesystem

Für Diracspinoren ist eine Darstellungen T_{u} := T_{u,0} mit u ∈ SU(2) im Ruhesystem des Teilchens gegeben durch

(T_{u}ψ_{me_{0},s_{3}})(x) = e^{−imt} ( \begin{matrix}uχ_{s_{3}} \\ uχ_{s_{3}} \end{matrix} ) = ψ_{me_{0},s′_{3}}(x) u_{s′_{3},s_{3}}

Dabei wurde verwendet, daß für eine komplexe 2 × 2-Matrix A χ_{s} = χ_{s′} A_{s′,s} gilt. Für allgemeinen Spin definieren wir daher

T_{u} |me_{0}, s, s_{3}⟩ = |me_{0}, s, s′_{3}⟩ D_{s′_{3},s_{3}}^{s}(u)

wobei D_{s′_{3},s_{3}}^{s}(u) = ⟨ me_{0}, s, s′_{3} | T_{u} | me_{0}, s, s_{3} ⟩ die üblichen Drehmatrizen sind. Insbesondere ist u = D^{1/2}(u).

1.3 Boosts

Für s = 1/2 wurde ein Boost g_{p} dargestellt durch

(T_{g_{p}}ψ_{me_{0},s_{3}})(x) = ψ_{p,s_{3}}(x)

und für allgemeinen Spin sei analog

T_{g_{p}} |me_{0}, s, s_{3}⟩ = |p, s, s_{3}⟩

1.4 eigentliche Lorentztransformationen

Die obigen Definitionen legen nun T_{g,a} bereits vollständig fest. Dazu beachten wir zunächst, daß sich jede Matrix g′ := g g_{p} ∈ SL(2, C) zerlegen läßt in

g g_{p} = g′ = h u

mit einer hermitischen positiv definiten Matrix h mit Determinante 1, und einer Matrix u ∈ SU(2), die von p und g abhängt. Es ist

h^{2} = h h^{+} = h u u^{+} h^{+} = g′ g^{′+} =
= g g_{p} g_{p}^{+} g^{+} = g σ (\frac{p}{m}) g^{+} =
= σ (\frac{Λp}{m})

mit ρ(g) = Λ [Petry]. Also ist

h = σ (\frac{Λp}{m})^{1/2} = g_{Λp}
g g_{p} = g_{Λp} u

Dabei ist

u = g_{Λp}^{−1} g g_{p}

ein Element der sogenannten little group der Poincaregruppe. Man kann sich das anschaulich so vorstellen, daß man die eigentliche Lorentztransformation

g = g_{Λp} u g_{p}^{−1}

die p auf Λp abbildet, dadurch erhält, daß man erst mit g_{p}^{−1} ins Ruhesystem geht, dann mit u dreht und schließlich mit g_{Λp} boostet. Damit ist

T_{g} |p, s, s_{3}⟩ = T_{g} T_{g_{p}} |me_{0}, s, s_{3}⟩ =
= T_{g_{Λp}} T_{u} |me_{0}, s, s_{3}⟩ =
= T_{g_{Λp}} |me_{0}, s, s′_{3}⟩ D_{s′_{3},s_{3}}^{s}(u) =
= |Λp, s, s′_{3}⟩ D_{s′_{3},s_{3}}^{s}(u)

1.5 Parität P

Mit

σ (\frac{p}{m}) = σ̃ (\frac{P p}{m}) = σ (\frac{P p}{m})^{−1}

erhalten wir für die Darstellung der Parität auf den Diracspinoren

(T_{P} ψ_{p,s_{3}})(x) = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ψ_{p,s_{3}}(P x) = ψ_{P p,s_{3}}(x)

Für allgemeinen Spin sei daher

T_{P} |p, s, s_{3}⟩ = |P p, s, s_{3}⟩

Dies entspricht der klassischen Anschauung, nach der p⃗ ein polarer Vektor und der Spin ein axialer Vektor ist.

1.6 Zeitumkehr T

Wegen

ϵ g_{p}^{∗} = g_{−T p} ϵ

erhalten wir für die Darstellung der Zeitumkehr auf den Diracspinoren

(T_{T} ψ_{p,s_{3}})(x) = ( \begin{matrix}ϵ & 0 \\ 0 & ϵ \end{matrix} ) ψ_{p,s_{3}}^{∗}(T x) = ψ_{−T p,s′_{3}}(x) ϵ_{s′_{3},s_{3}} = ψ_{−T p, −s_{3}}(x) (−1)^{1/2−s_{3}}

mit

ϵ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

Für allgemeinen Spin sei daher

T_{T} |p, s, s_{3}⟩ = |−T p, s, −s_{3}⟩ (−1)^{s−s_{3}}

Auch dies entspricht der klassischen Anschauung, nach der sich p⃗ ∼ dx⃗/dt und auch L⃗ = x⃗ × p⃗ bei Zeitumkehr umdrehen.

Die Ladungsumkehr T_{C} wird unten im Zusammenhang mit der zweiten Quantisierung (Fockraum) besprochen.

2 Darstellung der Poincaregruppe auf dem Fockraum

In diesem Kapitel soll die Darstellung der Poincaregruppe auf dem Fockraum zu s = 1/2 untersucht werden. Die Bezeichnungen aus [Petry] werden dabei verwendet. Vergleiche dort auch das Kapitel zur zweiten Quantisierung.

Der Lösungsraum der Diracgleichung zerfällt in zwei zueinander orthogonale Räume von Lösungen mit p^{0} > 0 und p^{0} < 0:

H_{D} = H_{D}^{+} ⊕ H_{D}^{−}

Sei v = v_{+} + v_{−} ∈ H_{D} und

Ψ(v) = a(v_{+}) + a(v_{−}) = b(v_{el}) + d^{+}(v_{pos})

mit

v_{el} = v_{+}
T_{C}v_{pos} = v_{−}
b(v_{el}) = a(v_{+})
d^{+}(v_{pos}) = a(v_{−}) = a(T_{C}v_{pos})

Dabei ist T_{C} die Ladungsumkehr. Das Vakuum ist so definiert, daß b |0⟩ = d |0⟩ = 0 ist. Man beachte, daß a, b, d, T_{C} antilinear sind. Durch

ψ_{k,s_{3},+} := ψ_{k,s_{3}} |_{k^{0}=|k^{0}|}

ist eine ’kontinuierliche Basis’ aus ebenen Wellen in H_{+} gegeben. In H_{−} ist eine entsprechende Basis dann gegeben durch

ψ_{k,s_{3},−} := T_{C} ψ_{k,s_{3},+}

Tatsächlich rechnet man leicht nach, daß

⟨ψ_{k′,s′_{3},+} |ψ_{k,s_{3},−}⟩ = 0

ist. Man beachte, daß

ψ_{k,s_{3},−} ≠ ψ_{k,s_{3}} |_{k^{0}=−|k^{0}|}

Wie wir unten zeigen, gewährleistet diese spezielle Wahl der Basis in H_{D}^{−}, daß k und s_{3} ihre übliche Interpretation beibehalten bei den Erzeugern d_{k,s_{3}}^{+}.

Explizit lauten die Basiszustände in der Weyl-Basis

ψ_{k,s_{3},+}(x) = e^{−ikx} ( \begin{matrix}g_{k} χ_{s_{3}} \\ σ̃ (\frac{k}{m}) g_{k} χ_{s_{3}} \end{matrix} )

ψ_{k,s_{3},−}(x) = e^{ikx} ( \begin{matrix}g_{k} ϵχ_{s_{3}} \\ −σ̃ (\frac{k}{m}) g_{k} ϵχ_{s_{3}} \end{matrix} )

wobei beides mal k^{0} = |k^{0}| > 0 ist. Die Transformation in die meist übliche Standardbasis (Bjorken-Drell, Itzykson-Zuber) ist gegeben durch

ψstd = U ψweyl
γstd^{μ} = U γweyl^{μ} U
U = U^{+} = U^{−1} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & −1 \end{matrix} )

In der Standardbasis lauten die Basiszustände dann

ψ_{k,s_{3},+}(x) = e^{−ikx} \sqrt{\frac{m + k^{0}}{m}} ( \begin{matrix}χ_{s_{3}} \\ \frac{σ⃗k⃗}{m+k^{0}} χ_{s_{3}} \end{matrix} )

ψ_{k,s_{3},−}(x) = e^{ikx} \sqrt{\frac{m + k^{0}}{m}} ( \begin{matrix}\frac{σ⃗k⃗}{m+k^{0}} ϵχ_{s_{3}} \\ ϵχ_{s_{3}} \end{matrix} )

(vergleiche auch Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik). Die Basiszustände erfüllen beide die freie Diracgleichung.

Um die Transformationseigenschaften der Basiszustände zu berechnen, beweist man zunächst leicht

(T_{g} T_{C} ψ)(x) = ĝ S(C) ψ^{∗}(Λ^{−1}x) = S(C) ĝ^{∗} ψ^{∗}(Λ^{−1}x) = (T_{C} T_{g} ψ)(x)
(T_{T} T_{C} ψ)(x) = S(T) S(C) ψ(T x) = S(C) S(T) ψ(T x) = (T_{C} T_{T} ψ)(x)
(T_{P} T_{C} ψ)(x) = S(P) S(C) ψ^{∗}(P x) = −S(C) S(P) ψ^{∗}(P x) = −(T_{C} T_{P} ψ)(x)

und erhalten damit

T_{g} ψ_{k,s_{3},−} = T_{g} T_{C} ψ_{k,s_{3},+} = T_{C} T_{g} ψ_{k,s_{3},+} = T_{C} ψ_{Λk,s′_{3},+} u_{s′_{3},s_{3}}
= (T_{C} ψ_{Λk,s′_{3},+}) u_{s′_{3},s_{3}}^{∗} = ψ_{Λk,s′_{3},−} u_{s′_{3},s_{3}}^{∗}

Analog berechnet man die übrigen Transformationseigenschaften. Wir fassen sie hier zusammen:

(T_{g}ψ_{k,s_{3},+})(x) = ψ_{Λk,s′_{3},+}(x) u_{s′_{3},s_{3}}

(T_{g}ψ_{k,s_{3},−})(x) = ψ_{Λk,s′_{3},−}(x) u_{s′_{3},s_{3}}^{∗}
(T_{T} ψ_{k,s_{3},+})(x) = ψ_{−T k,−s_{3},+}(x) (−1)^{1/2−s_{3}}
(T_{T} ψ_{k,s_{3},−})(x) = ψ_{−T k,−s_{3},−}(x) (−1)^{1/2−s_{3}}
(T_{P} ψ_{k,s_{3},+})(x) = ψ_{P k,s_{3},+}(x)
(T_{P} ψ_{k,s_{3},−})(x) = −ψ_{P k,s_{3},−}(x)

Wir setzen

b_{k,s_{3}} := b(ψ_{k,s_{3},+}) = a(ψ_{k,s_{3},+})
d_{k,s_{3}}^{+} := d^{+}(ψ_{k,s_{3},+}) = a(Cψ_{k,s_{3},+}) = a(ψ_{k,s_{3},−})

so daß die üblichen Antivertauschungsregeln gelten:

\{b_{k′,s′_{3}}, b_{k,s_{3}}^{+}\} = (2π)^{3} \frac{2k^{0}}{m} δ^{3}(k⃗ − k⃗′) δ_{s′_{3},s_{3}}
\{d_{k′,s′_{3}}, d_{k,s_{3}}^{+}\} = (2π)^{3} \frac{2k^{0}}{m} δ^{3}(k⃗ − k⃗′) δ_{s′_{3},s_{3}}

Damit ist

Ψ(v) = ∑_{s_{3}} ∫ \frac{d^{3}k}{(2π)^{3}} \frac{m}{2k^{0}} (⟨ψ_{k,s_{3},+} |v_{+}⟩^{∗} b_{k,s_{3}} + ⟨ψ_{k,s_{3},−} |v_{−}⟩^{∗} d_{k,s_{3}}^{+})

Definiere

Ψ(v) =: ∫ d^{3}x v^{+}(x)Ψ(x)

wobei diese Gleichung im Distributionensinn zu lesen ist. Die Zeit t liege dabei fest. Mit Hilfe dieser Definition kann man schreiben

Ψ(x) = ∑_{s_{3}} ∫ \frac{d^{3}k}{(2π)^{3}} \frac{m}{2k^{0}} (ψ_{k,s_{3},+}(x) b_{k,s_{3}} + ψ_{k,s_{3},−}(x) d_{k,s_{3}}^{+})

2.1 eigentliche Lorenztransformationen

Wir hatten (T_{g}v)(x) = ĝ v(Λ^{−1}x), vergleiche oben. Wir definieren einen linearen Operator U_{g} auf dem Fockraum durch

Ψ(T_{g}v) =: U_{g} Ψ(v) U_{g}^{−1}
⇔ ĝ^{−1} Ψ(Λx) = U_{g} Ψ(x) U_{g}^{−1}

Durch Entwickeln nach ebenen Wellen erhalten wir einerseits

U_{g} Ψ(x) U_{g}^{−1} = ∑_{s_{3}} ∫ \frac{d^{3}k}{(2π)^{3}} \frac{m}{2k^{0}} (ψ_{k,s_{3},+}(x) U_{g} b_{k,s_{3}} U_{g}^{−1} + ψ_{k,s_{3},−}(x) U_{g} d_{k,s_{3}}^{+} U_{g}^{−1})

Andererseits muß dieser Ausdruck wegen der Transformationseigenschaften der Basiszustände gleich sein mit

ĝ^{−1} Ψ(Λx) = ∑_{s_{3}, s′_{3}} ∫ \frac{d^{3}k′}{(2π)^{3}} \frac{m}{2k^{′0}} (ψ_{Λ^{−1}k′,s_{3},+}(x) u_{s_{3},s′_{3}}^{−1} b_{k′,s′_{3}} + ψ_{Λ^{−1}k′,s_{3},−}(x) (u_{s_{3},s′_{3}}^{−1})^{∗} d_{k′,s′_{3}}^{+}) =

= ∑_{s_{3}, s′_{3}} ∫ \frac{d^{3}k}{(2π)^{3}} \frac{m}{2k^{0}} (ψ_{k,s_{3},+}(x) u_{s_{3},s′_{3}}^{−1} b_{Λk,s′_{3}} + ψ_{k,s_{3},−}(x) (u_{s_{3},s′_{3}}^{−1})^{∗} d_{Λk,s′_{3}}^{+})

mit Λ^{−1}k′ = k. Durch Vergleichen erhalten wir wegen u_{i,j}^{−1} = u_{j,i}^{∗}

U_{g} b_{k,s_{3}} U_{g}^{−1} = b_{Λk,s′_{3}} u_{s′_{3},s_{3}}^{∗}
U_{g} b_{k,s_{3}}^{+} U_{g}^{−1} = b_{Λk,s′_{3}}^{+} u_{s′_{3},s_{3}}
U_{g} d_{k,s_{3}} U_{g}^{−1} = d_{Λk,s′_{3}} u_{s′_{3},s_{3}}^{∗}
U_{g} d_{k,s_{3}}^{+} U_{g}^{−1} = d_{Λk,s′_{3}}^{+} u_{s′_{3},s_{3}}

Die entsprechenden Rechnungen für C, P, T verlaufen analog. Im Fockraum sind Teilchen- und Antiteilchenzustände gegeben durch

|e, k, 1/2, s_{3}⟩ := b_{k,s_{3}}^{+} |0⟩
|ē, k, 1/2, s_{3}⟩ := d_{k,s_{3}}^{+} |0⟩

und es gelten demnach für sie die Transformationseigenschaften

U_{g} |e, k, 1/2, s_{3}⟩ = |e, Λk, 1/2, s′_{3}⟩ u_{s′_{3},s_{3}}
U_{g} |ē, k, 1/2, s_{3}⟩ = |ē, Λk, 1/2, s′_{3}⟩ u_{s′_{3},s_{3}}

Es gilt also für Einteilchenzustände T_{g} = U_{g}. Damit besitzt k in beiden Fällen die Bedeutung eines Impulses und s_{3} gibt die z-Komponente des Spins an.

2.2 Parität P

Es ist (T_{P} v)(x) = S(P) v(P x). Wir definieren einen unitären Operator U_{P} auf dem Fockraum durch

Ψ(T_{P} v) =: U_{P} Ψ(v) U_{P}^{−1}
⇔ S(P) Ψ(P x) = U_{P} Ψ(x) U_{P}^{−1}

Durch

ψ_{P k,s_{3},±} = T_{P} ψ_{k,s_{3},±}

ist eine weitere Basis gegeben. Damit erhalten wir unter der Verwendung der Entwicklung nach den Basisfunktionen

b_{P k,s_{3}} = U_{P} b_{k,s_{3}} U_{P}^{−1}
−d_{P k,s_{3}}^{+} = U_{P} d_{k,s_{3}}^{+} U_{P}^{−1}
U_{P} |e, k, 1/2, s_{3}⟩ = |e, P k, 1/2, s_{3}⟩
U_{P} |ē, k, 1/2, s_{3}⟩ = − |ē, P k, 1/2, s_{3}⟩

2.3 Zeitumkehr T

Es ist (T_{T} v)(x) = S(T) v^{∗}(T x). Wir definieren einen Operator U_{T} auf dem Fockraum durch

Ψ(T_{T} v) =: U_{T} Ψ(v) U_{T}^{−1}
⇔ −S(T) Ψ(T x) = U_{T} Ψ(x) U_{T}^{−1}

wobei wir zusätzlich fordern, daß U_{T} antilinear sein soll. Man beachte, daß kein Ψ^{+} in der Definition vorkommt, da sonst Teilchen in Antiteilchen umgewandelt würden. Damit erhalten wir unter der Verwendung der Entwicklung nach den alten und neuen Basisfunktionen

b_{−T k,−s_{3}} (−1)^{1/2−s_{3}} = U_{T} b_{k,s_{3}} U_{T}^{−1}
d_{−T k,−s_{3}}^{+} (−1)^{1/2−s_{3}} = U_{T} d_{k,s_{3}}^{+} U_{T}^{−1}
U_{T} |e, k, 1/2, s_{3}⟩ = |e, −T k, 1/2, −s_{3}⟩ (−1)^{1/2−s_{3}}
U_{T} |ē, k, 1/2, s_{3}⟩ = |ē, −T k, 1/2, −s_{3}⟩ (−1)^{1/2−s_{3}}

2.4 Ladungskonjugation C

Es ist (T_{C}v)(x) = S(C) v^{∗}(x). Wir definieren einen linearen Operator U_{C} auf dem Fockraum durch

Ψ(T_{C}v)^{+} =: U_{C} Ψ(v) U_{C}^{−1}
⇔ S(C) Ψ^{+}(x) = U_{C} Ψ(x) U_{C}^{−1}

Diese Definition bewirkt die Umwandlung von Teilchen in Antiteilchen durch U_{C}. Man erhält durch Entwickeln nach den Basisfunktionen

b_{k,s_{3}}^{+} = U_{C} d_{k,s_{3}}^{+} U_{C}^{−1}
d_{k,s_{3}} = U_{C} b_{k,s_{3}} U_{C}^{−1}
U_{C} |ē, k, 1/2, s_{3}⟩ = |e, k, 1/2, s_{3}⟩

3 Die S-Matrix im Wechselwirkungsbild

Dieses Kapitel ist teilweise angelehnt an Schweber: An Introduction to relativistic Quantum Field Theory. Wir betrachten allgemein Zustände eines Hilbertraums, deren Zeitentwicklung gegeben ist durch

|ψ_{s}(t)⟩ = Û(t − t_{0}) |ψ_{s}(t_{0})⟩
Û(t − t_{0}) = e^{−iH(t−t_{0})}

Der Index s gibt an, daß wir diese Beschreibung der Zeitentwicklung durch zeitabhängige Zustände als Schrödingerbild bezeichnen. Wir teilen nun im Sinne der Störungstheorie H auf in einen freien Teil H^{0} und einen Wechselwirkungsteil H^{I}. Analog zu oben ist die Zeitentwicklung ohne den Wechselwirkungsanteil gegeben durch

Ũ(t − t_{0}) = e^{−iH^{0}(t−t_{0})}

3.1 Das Wechselwirkungsbild

Man kann nun die Zeitentwicklung, die durch H^{0} verursacht wird, von den Zuständen auf die Operatoren herüberbringen. Dazu definieren wir

|ψ(t)⟩ :=: Ũ^{−1}(t) |ψ_{s}(t)⟩
A_{t} := Ũ^{−1}(t) A Ũ(t) , insbesondere:
H_{t}^{I} := Ũ^{−1}(t) H^{I} Ũ(t)

Man beachte, daß H_{t}^{0} = H^{0} ist. Man sagt, daß man sich im Diracbild oder Wechselwirkungsbild befindet, wenn man eine Theorie mit den so definierten Zuständen (ohne den Schrödingerindex s) und zeitabhängigen Operatoren (mit dem Zeitindex t) formuliert. Es gilt

⟨ ψ(t) | A_{t} | ϕ(t) ⟩ = ⟨ ψ_{s}(t) | A | ϕ_{s}(t) ⟩

Die Definition wurde so gewählt, daß Schrödingerbild und Wechselwirkungsbild für t = 0 übereinstimmen. Die Zeitentwicklung der Zustände im Wechselwirkungsbild ist nun gegeben durch

|ψ(t)⟩ = U(t, t_{0}) |ψ(t_{0})⟩
U(t, t_{0}) := Ũ^{−1}(t) Û(t − t_{0}) Ũ(t_{0}) =
= e^{iH^{0}t} e^{−iH(t−t_{0})} e^{−iH^{0}t}

Es gilt die Eigenschaft

U(t, t_{0}) U(t_{0}, t′) = U(t, t′)
U(t, t_{0})^{−1} = U(t_{0}, t) = U^{+}(t, t_{0})

3.2 Die S-Matrix

Wir wollen nun einen Streuprozess beschreiben. Sei dazu |ψ(t)⟩ ein Zustand, der sich für große positive und negative Zeiten außerhalb der Wechselwirkungszone befindet und dort also im Diracbild unabhängig von t wird. Wir definieren also zeitlich konstante Zustände mit Träger außerhalb der Wechselwirkungszone durch

|ϕ_{a}⟩ := lim_{t→−∞} |ψ_{a}(t)⟩
|ϕ_{f}⟩ := lim_{t→∞} |ψ_{a}(t)⟩

Im Experiment präpariert man nun einen freien einlaufenden Zustand |ϕ_{a}⟩ und läst ihn in die Wechselwirkungszone laufen. Nachdem er diese Zone wieder verlassen hat (sich also wie |ψ_{a}(t)⟩ zeitlich entwickelt hat), liegt nun ein anderer freier Zustand |ϕ_{f}⟩ vor. An diesem Zustand wird nun eine Messung durchgeführt, d.h. eine Quantenzahl b soll gemessen werden. Man mißt also die Projektion auf einen Zustand |ϕ_{b}⟩, der Eigenzustand zu dieser Quantenzahl ist. Diese Projektion wird S-Matrixelement zu dieser Messung genannt. Wir definieren daher

S_{ba} := ⟨ϕ_{b} |ϕ_{f}⟩ =
= lim_{t_{2}→∞} ⟨ϕ_{b} |ψ_{a}(t_{2})⟩ =
= lim_{t_{2}→∞} ⟨ ϕ_{b} | U(t_{2}, t_{1}) | ψ_{a}(t_{1}) ⟩ =
= lim_{t_{2}→∞} lim_{t_{1}→−∞} ⟨ ϕ_{b} | U(t_{2}, t_{1}) | ϕ_{a} ⟩

Man definiert daher auch häufig den S-Operator als

S = U(∞, −∞)

3.3 Mølleroperatoren

Man kann sich den Zustand |ϕ_{b}⟩ auch vorstellen als den Grenzwert t → ∞ von einem Zustand |ψ_{b}(t)⟩, der aus der Wechselwirkungszone ausläuft:

|ϕ_{b}⟩ = lim_{t→∞} |ψ_{b}(t)⟩

Wir haben also

|ψ_{a}(t)⟩ = U(t, −∞) |ϕ_{a}⟩
|ψ_{b}(t)⟩ = U(t, ∞) |ϕ_{b}⟩

Für die S-Matrix gilt also

S_{ba} = ⟨ ϕ_{b} | U(∞, −∞) | ϕ_{a} ⟩ =
= ⟨ ϕ_{b} | U(∞, t) U(t, −∞) | ϕ_{a} ⟩ =
= ⟨ψ_{b}(t) |ψ_{a}(t)⟩

Wir wählen t = 0 und definieren die Mølleroperatoren Ω_{±}

Ω_{±} := U(0, ∓∞)
Ω_{+} |ϕ_{a}⟩ = |ψ_{a}(0)⟩
Ω_{−} |ϕ_{b}⟩ = |ψ_{b}(0)⟩

Damit erhalten wir für den S-Operator

S_{ba} = ⟨ψ_{b}(0) |ψ_{a}(0)⟩ =
= ⟨ ϕ_{b} | Ω_{−}^{+} Ω_{+} | ϕ_{a} ⟩
⇒ S = Ω_{−}^{+} Ω_{+}

Das Problem gebundener Zustände von H soll hier nicht untersucht werden.

3.4 Die Reduktionsformel für zeitgeordnete Produkte von Diracfeldern

Zunächst definieren wir Operatoren Ψ(t, x⃗) für Diracteilchen im Heisenbergbild durch

Ψ(t, x⃗) := Û^{−1}(t) Ψ_{s}(x⃗) Û(t) =
= Û^{−1}(t) Ũ(t) Ψ_{t}(x⃗) Ũ^{−1}(t) Û(t) =
= U^{−1}(t, 0) Ψ_{t}(x⃗) U(t, 0)

Dabei ist Ψ_{s}(x⃗) der zeitunabhängige Operator im Schrödingerbild und Ψ_{t}(x⃗) der zeitabhängige Operator im Wechselwirkungsbild. Wegen

Ψ_{t}(x⃗) = Ũ^{−1}(t) Ψ_{0}(x⃗) Ũ(t)

ist Ψ_{t}(x⃗) gleich dem freien Feldoperator im Heisenbergbild

Ψ_{t}(x⃗) =: Ψ_{fr}(x)

mit x = (t, x⃗). Aus den obigen Gleichungen folgt sofort

lim_{t→±∞} Ω_{∓}^{+} Ψ(x) = lim_{t→±∞} Ψ_{fr}(x) Ω_{∓}^{+}
lim_{t→±∞} Ψ(x) Ω_{∓} = lim_{t→±∞} Ω_{∓} Ψ_{fr}(x)

Wir betrachten nun das Matrixelement

⟨ (ψ_{b})_{s}(t) | T Ψ_{s}(x⃗_{1}) ⋯ Ψ_{s}(x⃗_{n}) | (ψ_{a})_{s}(t) ⟩ =
= ⟨ ψ_{b}(0) | T Ψ(t_{1}, x⃗_{1}) ⋯ Ψ(t_{n}, x⃗_{n}) | ψ_{a}(0) ⟩

Dabei haben wir links die Formulierung im Schrödingerbild angegeben und rechts im Heisenbergbild. T ist der Zeitordnungsoperator, der bewirkt, daß Operatoren in abfallender zeitlicher Reihenfolge anzuordnen sind. Unser Ziel ist es nun, dieses Matrixelement durch freie ein- und auslaufende Zustände sowie freie Feldoperatoren auszudrücken. Dabei wird die S-Matrix auftauchen, die man selber wieder nach freien Feldoperatoren entwickeln kann. Wir erhalten so einen störungstheoretischen Ausdruck für das Matrixelement. Zunächst wollen wir eine formalen Ausdruck für U(t, t_{0}) angeben [Schweber]: Wegen

i\frac{d}{dt} U(t, t_{0}) = H_{t}^{I} U(t, t_{0})

gilt für U die formale Reihenentwicklung

U(t, t_{0}) = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} (−i)^{n} ∫_{t_{0}}^{t} dt_{1} ∫_{t_{0}}^{t} dt_{2} ⋯ ∫_{t_{0}}^{t} dt_{n} T H_{t_{1}}^{I} H_{t_{2}}^{I} ⋯ H_{t_{n}}^{I} =
=: T exp (−i ∫_{t_{0}}^{t} dt′ H_{t′}^{I})

Diesen Ausdruck wollen wir unten benutzen. Dabei sei vorausgesetzt, daß H_{t}^{I} nur Terme mit einer geraden Anzahl von Ψ_{fr}-Feldern enthält, d.h. es gilt für t_{1} ≠ t_{2}

T Ψ_{fr}(t_{1}, x⃗) H_{t_{2}}^{I} = T H_{t_{2}}^{I} Ψ_{fr}(t_{1}, x⃗)

Damit erhalten wir die Reduktionsformel

⟨ ψ_{b}(0) | T Ψ(x_{1}) ⋯ Ψ(t_{n}, x⃗_{n}) | ψ_{a}(0) ⟩ =
= ⟨ϕ_{b}| U(∞, 0) T [ U(0, t_{1}) Ψ_{fr}(x_{1}) U(t_{1}, 0)
⋯ U(0, t_{n}) Ψ_{fr}(x_{n}) U(t_{n}, 0) ] U(0, −∞) |ϕ_{a}⟩ =
= ⟨ϕ_{b}| T [ U(∞, t_{1}) Ψ_{fr}(x_{1}) U(t_{1}, t_{2}) Ψ_{fr}(x_{2})
⋯ U(t_{n−1}, t_{n}) Ψ_{fr}(x_{n}) U(t_{n}, −∞) ] |ϕ_{a}⟩ =
= ⟨ ϕ_{b} | T [ Ψ_{fr}(x_{1}) Ψ_{fr}(x_{2}) ⋯ Ψ_{fr}(x_{n}) S] | ϕ_{a} ⟩ =
= ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!} (−i)^{n} ∫_{t_{0}}^{t} dt′_{1} ∫_{t_{0}}^{t} dt′_{2} ⋯ ∫_{t_{0}}^{t} dt′_{n}
⟨ ϕ_{b} | T [ Ψ_{fr}(x_{1}) Ψ_{fr}(x_{2}) ⋯ Ψ_{fr}(x_{n}) H_{t′_{1}}^{I} H_{t′_{2}}^{I} ⋯ H_{t′_{n}}^{I}] | ϕ_{a} ⟩

Der T -Operator wirkt dabei auf den gesamten Ausdruck und sorgt für die richtige Anordnung der Operatoren. Konkret ist H_{t}^{I} ein Ausdruck mit einer geraden Anzahl von freien Feldern Ψ_{fr}(x), den man nun in diese Reihenentwicklung einsetzen kann. Die entstehenden Terme lassen sich nun mit Hilfe des Wick-Theorems auswerten und im Wesentlichen durch freie Propagatoren

⟨ 0 | T Ψ_{fr}(x) Ψ_{fr}(y) | 0 ⟩

ausdrücken, was letztlich auf die Feynmanregeln führt.

4 Gapgleichung und chirale Symmetriebrechung

In diesem Kapitel werden mit Hilfe einer einfachen Modell-Lagrangedichte die Konzepte dargestellt, mit deren Hilfe man z.B. im sogenannten Nambu-Jona-Lasinio-Modell die spontane Brechung der chiralen Symmetrie in der QCD und damit die dynamische Erzeugung von Quarkmassen behandeln kann.

Die sogenannten Strommassen der leichten Quarks (u,d) liegen um ein bis zwei Größenordnungen unter den Massen der leichten Hadronen. Man nimmt daher an, daß man zur Beschreibung der leichten Hadronen (aus u- und d-Quarks aufgebaut) die entsprechenden Massenterme in der QCD-Lagrangedichte in guter Näherung vernachlässigen kann. In diesem Fall weist die genäherte Lagrangedichte einige zusätzliche Invarianzen im Flavorraum auf. Beschränken wir uns auf die zwei leichtesten Quarkflavors, so können rechts- und linkshändige Quarkfelder unabhängig voneinander im Flavorraum mit einer Matrix U ∈ U(2) rotiert werden.

Um die Konsequenzen dieser Symmetrien zu verstehen, beschränken wir uns in einem ersten einfachen Modell auf einen Flavor und betrachten eine einfache Lagrangedichte, die keine Massenterme enthält und die invariant ist unter der chiralen Transformation

ψ_{L} → λψ_{L} , ψ_{R} → λ^{−1}ψ_{R}

wobei λ ∈ C, |λ| = 1 ist. Die einfachste Lagrangedichte mit Wechselwirkung und den obigen Eigenschaften ist

L = iψ̄γ^{μ}∂_{μ}ψ + g [(ψ̄ψ)^{2} − (ψ̄γ_{5}ψ)^{2}]

Die übliche Vorgehensweise ist nun häufig, den zweiten Anteil als Wechselwirkungsanteil in Störungstheorie zu behandeln, so daß die Lagrangedichte ohne diesen Störterm einfach masselose Diracteilchen beschreibt. Man stellt Feynmanregeln mit masselosen Diracpropagatoren auf und erhält so auch Selbstwechselwirkungsgraphen für die Fermionen, die auf eine (divergierende) Selbstenergie (und somit Masse) führen können. Der Nachteil bei dieser Methode ist, daß nichtstörungstheoretische Effekte durch die Wechselwirkung so nur schwer behandelt werden können, z.B. mit Hilfe von Dyson-Schwinger-Gleichungen.

Eine andere Vorgehensweise besteht darin, die obige Lagrangedichte mit den Methoden der Vielteilchentheorie (Hartree-Fock) zu behandeln und dabei einen möglichst großen Teil der Wechselwirkung ohne Störungstheorie zu berücksichtigen. Dazu ist zu beachten, daß die obige Lagrangedichte noch nicht normalgeordnet ist, was bei der vorher beschriebenen Methode (Störungstheorie) z.B. zu sogenannten Tadpole-Feynmangraphen führt. Die Definition des Normalordnens bezieht sich immer auf einen Grundzustand (Vakuum). Das exakte Vakuum (mit Wechselwirkung) ist dadurch definiert, daß der Erwartungswert der Hamiltondichte für diesen Zustand minimal wird. Bei der Konstruktion dieses Zustandes ist man jedoch meist auf Näherungsverfahren angewiesen. Das oben beschriebenen Verfahren (Störungstheorie zu m = 0) definiert das Vakuum dadurch, daß man die Lagrangedichte ohne Wechselwirkung als gute Näherung betrachtet. Die entsprechende Näherung für das Vakuum ist dann der Zustand, der den Erwartungswert der freien Hamiltondichte (ohne WW) minimiert. Das ist der Diracsee, bei dem alle Fermionzustände (Masse Null) mit negativer Energie besetzt sind. Falls die Kopplungskonstante jedoch zu groß wird, ist dieses Verfahren nicht mehr sehr geeignet. Man wird eine bessere Näherung für den Grundzustand mit Wechselwirkung erreichen, wenn man ihn als Diracsee von Fermionen mit beliebiger Masse ansetzt. Dieser Ansatz für das Vakuum als Diracsee freier Teilchen zur Masse m entspricht einem Hartree-Fock-Ansatz in der Vielteilchentheorie. Die Masse spielt dabei die Rolle eines Variationsparameters. Entsprechend entwickelt man auch die Feldoperatoren ψ(x), ψ̄(x) nach Erzeugern und Vernichtern zu dieser Masse statt zur Masse Null und baut damit den Fockraum zu diesem Vakuum auf. Man beachte, daß man wegen Vollständigkeit die Feldoperatoren nach Erzeugern und Vernichtern zu beliebiger Masse entwickeln kann, da damit immer die richtigen Antivertauschungsrelationen für ψ(x), ψ̄(x) gewährleistet sind. Die geeignete Masse wird dann so bestimmt, daß der Erwartungswert der Hamiltondichte (mit WW) minimal wird (Ritzsches Variationsverfahren). Dieses Verfahren steht in Analogie zu Hartree-Fock-Verfahren, vgl. Ring, Schuck: The Nuclear Many Body Problem, Kap.7. Von dort kann man übernehmen, daß man äquivalent zum Minimieren des Energie-Erwartungswertes auch die Lagrangedichte bezüglich des Vakuums normalordnen kann und den Massenterm direkt abliest. Dies werden wir in Folgenden durchführen.

Für das Normalordnen verwenden wir das Wick-Theorem und schreiben nacheinander alle Terme explizit mit Dirac-Indices auf. Da wir das Vakuum als Diracsee (zur Masse m) angesetzt haben, ist

⟨ 0 | ψ_{α}ψ_{β} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | ψ̄_{α}ψ̄_{β} | 0 ⟩ = 0

wobei α, β Diracindices sind. Weiter setzen wir die Lorentzinvarianz des Vakuums voraus, d.h.

U |0⟩ = |0⟩

wobei U die Darstellung der Lorentztransformation Λ auf dem Fockraum ist, also

U^{+}ψ(x)U = S(Λ) ψ(Λ^{−1}x)
U^{+}ψ̄(x)U = ψ̄(Λ^{−1}x) S^{−1}(Λ)

Damit erhalten wir

ρ_{βα} := ⟨ 0 | ψ̄_{α}(0)ψ_{β}(0) | 0 ⟩ =
= ⟨ 0 | U^{+}ψ̄_{α}(0)U U^{+}ψ_{β}(0)U | 0 ⟩ =
= ⟨ 0 | ψ̄_{α′}(0) S_{α′α}^{−1} S_{β′β} ψ_{β′}(0) | 0 ⟩ =
= S_{ββ′} ρ_{β′α′} S_{α′α}^{−1}

wobei wir wegen Translationsinvarianz des Vakuums ohne Beschränkung der Allgemeinheit x = 0 gesetzt haben. Analog definieren wir

ρ′_{αβ} := ⟨ 0 | ψ_{α}(0)ψ̄_{β}(0) | 0 ⟩

und die Rechnung ist analog. Man beachte die unterschiedlichen Indexstellungen bei ρ und ρ′. Damit haben wir

ρ = SρS^{−1}
ρ′ = Sρ′S^{−1}

Die Matrizen ρ, ρ′ lassen sich nach den Matrizen der Dirac-Algebra entwickeln, da diese eine Basis über den komplexen Zahlen für invertierbare 4×4-Matrizen bilden. Die einzige Basismatrix mit der obigen Eigenschaft ist

1. Daher ist

ρ = c 1 ⇒ c = tr ρ/4 = ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ /4
ρ′ = c′ 1 ⇒ c′ = tr ρ′/4 = − ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ /4

Das negative Vorzeichen kann man durch explizite Berechnung der Erwartungswerte ablesen. Diese Berechnung werden wir für ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ noch durchführen. Wir haben also

⟨ 0 | ψ̄_{α}ψ_{β} | 0 ⟩ = ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ /4 δ_{αβ}
⟨ 0 | ψ_{α}ψ̄_{β} | 0 ⟩ = − ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ /4 δ_{αβ}

Unter Verwendung dieser Beziehungen und des Wick-Theorems erhalten wir damit

L = : iψ̄γ^{μ}∂_{μ}ψ : +2g ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ : ψ̄ψ : +
+ g : ((ψ̄ψ)^{2} − (ψ̄γ_{5}ψ)^{2}) : +
+ i ⟨ 0 | ψ̄γ^{μ}∂_{μ}ψ | 0 ⟩ + g ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩^{2}

Man sieht, daß ein Term analog zum üblichen Massenterm −m : ψ̄ψ : durch das Normalordnen entsteht. Wir setzen daher an:

m = −2g ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩

Dies ist eine selbstkonsistente Gleichung (Gapgleichung) für m. Um das zu sehen, kann man ψ(x) in der üblichen Weise in Fourierdarstellung nach Erzeugern und Vernichtern zur Masse m zerlegen und den Vakuumerwartungswert direkt berechnen. Äquivalent dazu kann man auch verwenden, daß für den freien Propagator zur Masse m gilt:

i S_{αβ}(x − y) = ⟨ 0 | T ψ_{α}(x)ψ̄_{β}(y) | 0 ⟩ =
= i ∫ \frac{d^{4}p}{(2π)^{4}} \frac{e^{ip(x−y)}}{γp − m + iϵ}

Damit ist

lim_{Δx→0} iS_{αβ}(Δx) = lim_{Δx→0} iS_{αβ}(−Δx) = − ⟨ 0 | ψ̄_{α}ψ_{β} | 0 ⟩

und wir erhalten unter Verwendung des expliziten Ausdrucks von S(x − y) und des Residuensatzes die Formel

⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ = −i tr S(0) = −2 ∫ \frac{d^{3}p}{(2π)^{3}} \frac{m}{p^{0}}

Dieser Ausdruck divergiert. Daher ist es nötig, einen Cutoff-Parameter Λ einzuführen, der große Impulse abschneidet. Man interpretiert dies so, daß man eine effektive Lagrangedichte für das Niederenergieverhalten (kleine Impulse) der QCD konstruieren möchte, die sowieso für hohe Impulse keine Bedeutung mehr hat. Damit hängt auch zusammen, daß die obige Lagrangedichte sowieso nicht renormierbar ist. Die physikalische Bedeutung des Kondensats ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ ist nun klar: es repräsentiert die skalare Dichte des Diracsees (mit der Teilchenenergie −\sqrt{m^{2} + p^{2}}), die bis zum Impuls Λ aufintegriert wird.

Nach Einführung des Cutoffs und Ausführung der Winkelintegration erhält man für die Gapgleichung

m = \frac{2gm}{π^{2}} ∫_{0}^{Λ} dp \begin{matrix} & p^{2} \\ √ & \overline{m^{2} + p^{2}} \end{matrix}

Diese Gleichung kann man für vorgegebenes g und Λ für m lösen. Insbesondere ist m = 0 immer eine Lösung. Diese Lösung entspricht dem störungstheoretischen Fall, den wir oben besprochen haben. Für hinreichend große Kopplung g ist jedoch auch m > 0 eine Lösung. Dafür berechnen wir das Integral analytisch und erhalten aus der Gapgleichung für m ≠ 0 die Beziehung

g̃ = π^{2} (\sqrt{1 + m̃^{2}} − m̃^{2} ln \frac{1 + \sqrt{1 + m̃^{2}}}{m̃} )^{−1}

mit dem dimensionslosen Größen g̃ = gΛ^{2}, m̃ = m/Λ. Diese Gleichung ist am Ende des Kapitels graphisch aufgetragen. Man erkennt, daß ab einer kritischen Kopplung

g̃_{c} = π^{2}

auch m > 0 eine Lösung der Gapgleichung ist. Wie wir später noch sehen werden, ergibt das Vakuum als Diracsee zu dieser Masse einen tieferen Energieerwartungswert als der Diracsee zur Masse m = 0 und ist daher eine bessere Näherung für den Grundzustand. Der Fockraum zur Masse m > 0 bildet für starke Kopplungen also einen besseren Ausgangsposition für die Störungstheorie, da hier ein Teil der Wechselwirkung bereits durch eine Masse (Selbst-WW) parametrisiert ist, analog zum mittleren Potential in der Hartree-Fock-Theorie.

Anmerkung: Die Gapgleichung kann man auch mit Hilfe der normalen Störungstheorie (m = 0) aus der Dyson-Schwinger-Gleichung mit einem Loop für die Selbstenergie erhalten.

Die beschriebene dynamische Erzeugung einer Masse durch die Wechselwirkung ist mit einer spontanen Brechung der chiralen Symmetrie verbunden. Betrachte dazu die chirale Transformation

λψ_{L} =: U^{+}ψ_{L}U
λ^{−1}ψ_{R} =: U^{+}ψ_{R}U
U |0⟩ =: |0′⟩

wobei U der Lift der chiralen Transformation auf den Fockraum ist und λ ∈ C, |λ| = 1 ist. Man beachte, daß wir nicht die Invarianz des Vakuums unter U fordern. Damit ist

⟨ 0′ | ψ̄ψ | 0′ ⟩ = ⟨ 0′ | ψ_{L}^{+}ψ_{R} + ψ_{R}^{+}ψ_{L} | 0′ ⟩ =
= ⟨ 0 | U^{+}ψ_{L}^{+}UU^{+}ψ_{R}U + U^{+}ψ_{R}^{+}UU^{+}ψ_{L}U | 0 ⟩ =
= ⟨ 0 | λ^{−2}ψ_{L}^{+}ψ_{R} + λ^{2}ψ_{R}^{+}ψ_{L} | 0 ⟩ ≠
≠ ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩

wobei ja λ^{∗} = λ^{−1} ist. Wenn also ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩ ≠ 0 ist, so muß

U |0⟩ = |0′⟩ ≠ |0⟩

sein, d.h. die chirale Symmetrie ist spontan gebrochen für m > 0. Der Vakuumzustand (d.h. in unserer Näherung der Diracsee massiver Fermionen) ist nicht mehr invariant unter chiralen Transformationen. Damit sind im Weiteren auch die üblichen Folgen wie das Auftreten von Goldstonebosonen verbunden.

Wir zeigen nun, daß man die Gapgleichung auch duch Minimieren des Vakuum-Energie-Erwartungswertes erhalten kann. Dieser Erwartungswert ist gegeben durch

⟨ 0 | H | 0 ⟩ = ⟨ 0 | ψ̄γ⃗p⃗ψ | 0 ⟩ − g ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩
= −2 ∫ \frac{d^{3}p}{(2π)^{3}} \frac{p^{2}}{p^{0}} − g · (−2 ∫ \frac{d^{3}p}{(2π)^{3}} \frac{m}{p^{0}} )^{2}

wie man unter Verwendung der Fourierdarstellung der Feldoperatoren ausrechnet. Nun liefert

\frac{∂}{∂m} ⟨ 0 | H | 0 ⟩ = 0

die Gapgleichung von oben. Die Berechnung der Integrale liefert außerdem die explizite Formel

\frac{⟨ 0 | H | 0 ⟩}{Λ^{4}} = −\frac{1}{π^{2}} \sqrt{1 + m̃^{2}} (\frac{1}{4} − \frac{3}{8}m̃^{2}) − \frac{3}{8π^{2}} m̃^{4} ln \frac{1 + \sqrt{1 + m̃^{2}}}{m̃} +
− g̃m̃^{2} \frac{1}{4π^{4}} (\sqrt{1 + m̃^{2}} − m̃^{2} ln \frac{1 + \sqrt{1 + m̃^{2}}}{m̃} )^{2}

Diese Formel ist am Ende des Kapitels graphisch aufgetragen.

Im nun folgenden Abschnitt wollen wir auf die Bogoljubov-Transformation eingehen, mit denen man Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren zu einer gegebenen 1-Teilchen-Basis des Hilbertraums in solche zu einer anderen Basis umrechnen kann. Um eine geeignete diskrete Orthonormal-Basis von Impuls-Eigenzuständen zu erhalten, verwenden wir die Boxnormierung (alle Konventionen konsistent zu Itzykson-Zuber QFT S.124)

ψ^{m}(x) = ∑_{k,s} (U_{k,s}^{m}(x) B_{m,k,s} + V_{k,s}^{m}(x) D_{m,k,s}^{+})
⟨U_{k,s}^{m} |U_{k′,s′}^{m}⟩ = δ_{k,k′} δ_{s,s′}
⟨V_{k,s}^{m} |V_{k′,s′}^{m}⟩ = δ_{k,k′} δ_{s,s′}
{B_{m,k,s} , B_{m,k′,s′}^{+}} = δ_{k,k′} δ_{s,s′}
{D_{m,k,s} , D_{m,k′,s′}^{+}} = δ_{k,k′} δ_{s,s′}

wobei der Zusammenhang zur üblichen (kontinuierlichen) Notation hergestellt wird durch

B_{m,k,s} = \sqrt{\frac{m}{V k^{0}}} b_{m,s}(k)
D_{m,k,s} = \sqrt{\frac{m}{V k^{0}}} d_{m,s}(k)
U_{k,s}^{m}(x) = \sqrt{\frac{m}{V k^{0}}} u_{s}^{m}(k) e^{−ikx}
V_{k,s}^{m}(x) = \sqrt{\frac{m}{V k^{0}}} v_{s}^{m}(k) e^{+ikx}
∫ \frac{d^{3}k}{(2π)^{3}} → \frac{1}{V} ∑_{k}

Dabei kennzeichnet m die Masse des erzeugten Zustandes. Um den Zusammenhang zwischen dem Fockraum zur Masse 0 und zur Masse m herzustellen, setzen wir o.B.d.A. für t = 0 an

ψ^{m}(0, x⃗) = ψ^{0}(0, x⃗)

und analog für (ψ^{m})^{+}. Damit sind die richtigen Antivertauschungsrelationen für die Feldoperatoren gesichert. Nun multipliziert man von links mit (U_{k,s}^{m})^{+}(0, x⃗) bzw. (V_{k,s}^{m})^{+}(0, x⃗) und integriert über d^{3}x. Eine etwas längere Rechnung ergibt dann

∫ d^{3}x (U_{k,s}^{m})^{+}(0, x⃗) U_{k′,s′}^{0}(0, x⃗) = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} δ_{k,k′} δ_{s,s′}

∫ d^{3}x (V_{k,s}^{m})^{+}(0, x⃗) V_{k′,s′}^{0}(0, x⃗) = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} δ_{k,k′} δ_{s,s′}

und wir erhalten für die Bogoljubov-Transformation

B_{m,k,s} = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} B_{0,k,s} + \sqrt{\frac{1}{2} (1 − \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} D_{0,−k,s}^{+}

D_{m,k,s} = \sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} D_{0,k,s} − \sqrt{\frac{1}{2} (1 − \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} B_{0,−k,s}^{+}

Man rechnet leicht nach, daß die richtigen Antivertauschungsrelationen erfüllt sind.

Wir betrachten nun den Zusammenhang zwischen dem Diracsee (als Näherung für das Vakuum) |0^{0}⟩ zur Masse 0 und |0^{m}⟩ zur Masse m. Diese Zustände sind definiert durch die Bedingung

B_{0,k,s} |0^{0}⟩ = 0  D_{0,k,s} |0^{0}⟩ = 0
B_{m,k,s} |0^{m}⟩ = 0  D_{m,k,s} |0^{m}⟩ = 0

Um aus dem Vakuum zur Masse 0 das Vakuum zur Masse m zu gewinnen, muß man also alle Zustände zur Masse m, die in |0^{0}⟩ vorkommen, vernichten und erhält

|0^{m}⟩ = − ∏_{k,s} B_{m,k,s} D_{m,−k,s} |0^{0}⟩ =

= N ∏_{k,s} (\sqrt{\frac{1}{2} (1 + \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} − \sqrt{\frac{1}{2} (1 − \frac{|k⃗|}{k^{0}} )} B_{0,k,s}^{+}D_{0,−k,s}^{+}) |0^{0}⟩

mit einer Normierungskonstante N. In der Basis zur Masse 0 müssen unendlich viele Teilchen-Antiteilchen-Paare mit Masse 0 erzeugt werden, um den masselosen Diracsee in den Diracsee zur Masse m überzuführen. Man kann von dem einen Vakuum nicht mit endlich vielen Erzeugern und Vernichtern zum anderen Vakuum gelangen, so daß die zugehörigen Fockräume nicht überlappen.

Da für große Kopplungskonstanten der Diracsee zur Masse m die bessere Näherung für das Vakuum ist als der Diracsee zur Masse 0, sind auch die darauf aufgebauten N-Teilchenzustände (also der Fockraum mit endlich vielen ’Quasi’-Teilchen) zur Masse m besser zur Beschreibung von Anregungszuständen geeignet. Man kann den dadurch noch nicht berücksichtigten Teil der WW nun in Störungstheorie behandeln, wobei die Quarkpropagatoren in den Feynmanregeln jetzt freie Propagatoren zur Masse m sind. Die Zustände des Fockraums sind nicht mehr chiral invariant, obwohl die Lagrangedichte es war (spontane Symmetriebrechung).

Figuren:

• Graphische Darstellung der Gapgleichung, wobei g̃ = gΛ^{2} als Funktion von m̃ = m/Λ aufgetragen ist.

• Vakuum-Energie-Erwartungswert ⟨ 0 | H | 0 ⟩ /(V Λ^{4}) als Funktion von g̃ und m̃. Das Minimum davon definiert zu jedem gegebenem g̃ ein optimales m̃, so wie es die Gapgleichung angibt.

• Vakuum-Energie-Erwartungswert ⟨ 0 | H | 0 ⟩ /(V Λ^{4}) als Funktion von m̃ zu verschiedenen g̃.

• Vakuum-Energie-Erwartungswert des freien masselosen Diracterms ⟨ 0 | ψ̄γ⃗p⃗ψ | 0 ⟩ /Λ^{4} (durchgezogene Linie) sowie des Wechselwirkungs-

terms mit g̃ = 10, d.h. −10 ⟨ 0 | ψ̄ψ | 0 ⟩^{2} /Λ^{6} (gestrichelte Linie), als Funktion von m̃.