Die Grenzen der Berechenbarkeit

Unvollständigkeit und Zufall in der Mathematik


Jörg Resag

2008



Inhaltsverzeichnis

1  Vorwort

2  Die Unvollständigkeit formaler Systeme
    
2.1  Axiome und formale Systeme
     2.2  Widerspruchsfreiheit, Vollständigkeit und Entscheidungsverfahren
     2.3  Berechenbarkeit und Turings Halteproblem
     2.4  Gödels Satz über die Unvollständigkeit der Arithmetik
     2.5  Wie Gödel die Unvollständigkeit der Arithmetik bewies
     2.6  Ist Widerspruchsfreiheit beweisbar?

3  Im Umfeld von Gödels Theorem
    
3.1  Interpretationen der Gödel-Aussage G und übernatürliche Zahlen
     3.2  Was bedeutet Gödels Theorem?
     3.3  Über die Komplexität und Zufälligkeit von Zahlen
     3.4  Chaitins Zufallszahl der Weisheit
     3.5  Über die Lösbarkeit diophantischer Gleichungen

4  Die Fundamente der Mathematik
    
4.1  Mengenlehre und Widersprüche
     4.2  Die Axiome der Mengenlehre
     4.3  Die Kontinuumshypothese
     4.4  Logik, Interpretation und Skolems Paradoxon
     4.5  Infinitesimale und unendliche Größen (Nichtstandard-Analysis)
     4.6  Goodsteinfolgen, Ordinalzahlen und transfinite Induktion

5  Ungelöste Rätsel und weitere Themen
    
5.1  Die Komplexität von Problemen (ist P = NP ?)
     5.2  Die Riemannsche Vermutung
     5.3  Die 3-Sphäre und die Poincaré-Vermutung

     5.4  Quantenfeldtheorie und Eichfelder
        5.4.1  Einleitung
        5.4.2  Die Grundpfeiler: spezielle Relativitätstheorie und Quantentheorie
        5.4.3  Die Quantisierung der klassischen Mechanik
        5.4.4  Die kanonische Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
        5.4.5  Pfadintegral-Quantisierung des freien elektromagnetischen Feldes
        5.4.6  Eichtheorien
        5.4.7  Die Frage nach der Existenz einer Quanten-Eichtheorie

     5.5  Ein kleiner mathematischer Rundgang
     5.6  Mathematische Unendlichkeiten
     5.7  Unentscheidbarkeit und Wahrheit
     5.8  Quantencomputer
     5.9  Kryptographie -- die Kunst der Verschlüsselung
     5.10  Die wundersame Welt der endlichen Gruppen (in Arbeit)
    

Dieses Buch wird immer wieder durch neue Kapitel erweitert, wenn ich ein Thema besonders interessant finde. Also gelegentlich mal vorbeischauen, ob es etwas Neues gibt!


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last modified on 28 August 2009